Viquipèdia

Punt d'inflexió: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
Redefinició i aclariments
Revisió general
Línia 21:
Si ''f''(''x'') és ''k''  vegades contínuament diferenciable en un determinat entorn d'un punt ''x<sub>0</sub>'' (amb ''k'' imparell i ''k'' ≥ 3) i amb ''f''<sup>(n)</sup>(''x''<sub>0</sub>)=0 per ''n'' = 2,...,''k'' - 1 i ''f''<sup>(k)</sup>(''x''<sub>0</sub>) ≠ 0 aleshores ''f''(''x'') té un punt d'inflexió a ''x''<sub>0</sub>.
 
2) Una altra condició suficient requereix que ''f′′''(''x''<sub>0</sub>+ ε) i ''f′′''(''x''<sub>0</sub> - ε) tinguin signes diferents en l'entorn de ''x''<sub>0</sub> ,si també la tangent existeix en aquest punt. ([[Usuària:Viquialcon/proves/Bronshtein and Semendyayev|Bronshtein and Semendyayev]] 2004<ref>{{Ref-llibre|cognom=|nom=|títol=Handbook of Mathematics|url=|edició=|llengua=|data=|editorial=|lloc=|pàgines=|isbn=3662462214, p. 2319783662462218}}</ref>).
[[Fitxer:FuncióArrelCúbica.png|enllaç=https://ca.wikipedia.org/wiki/Usu%C3%A0ria:Viquialcon/proves/Fitxer:Funci%C3%B3ArrelC%C3%BAbica.png|miniatura|La funció f(x)=<math>\sqrt[3]{x}</math> té un punt d'inflexió en x=0 però la derivada segona no existeix en aquest punt.]]
Ara bé, una funció f pot tenir un punt d'inflexió en un punt ''x<sub>0</sub>'' sense que existeixi la segona derivada en aquest punt. Hi ha d'haver però una recta tangent que travessi el gràfic . La tangent seria vertical(primera derivada infinita). Un exemple d'aquest cas és el de la funció f(x)=<math>\sqrt[3]{x}</math> en el punt ''x<sub>0</sub>'' =0. No té derivada segona en aquest punt però la derivada f'(0) és infinita i la tangent és vertical en aquest punt(la recta x=0).
Línia 41:
Per trobar els '''intervals de concavitat i convexitat d'una funció contínua en un interval [a,b'''], caldrà trobar els valors x on la segona derivada s'anul·la i els valors x on la segona derivada no existeix i estudiar el signe de la segona derivada en els intervals determinats per aquests valors. Si la segona derivada canvia de signe en un entorn d'un d'aquests valors x, aleshores serà un punt d'inflexió.
<references />
 
== Trobar punts d'inflexió ==
Per trobar els punts d'inflexió podem seguir dos mètodes diferents. El primer és més general, però més laboriós, mentre que el segon és menys general però en certes classes de funcions pot ser més simple.
 
=== Primer mètode ===
Trobar punts d'inflexió consisteix a trobar aquells valors de <math>\,x</math> pels quals la funció canvia de forma, és a dir, pels que la segona derivada canvia de signe. Això només pot passar en punts que es troben fora del domini, en punts on la segona derivada val zero i en punts on la segona derivada no existeix. Un cop hem trobat tots aquests punts, hem d'estudiar la forma de la funció en els intervals que es formen. Per tant, el procediment que hem de seguir és el següent:
* Trobar el domini de la funció.
* Trobar els valors de la segona derivada pels quals aquesta s'anul·la, és a dir, en què <math>\,f''(x)=0</math>.
* Trobar els punts de no [[derivabilitat]] de la segona derivada.
* Estudiar el signe de la segona derivada en cadascun dels intervals.▼
 
==== Exemple 1 ====
[[Fitxer: Funcio quarta.svg|thumb|alt=text alternatiu|Gràfica de la funció,<math>\,f(x)= quex^4 ens- permet2x^3 veure- que72x^2 són+ correctes4x els- punts5</math> d'inflexió que hem trobat.]]▼
Suposem que volem trobar els punts d'inflexió de la següent funció: <math>\,f(x)= x^4 - 2x^3 - 72x^2 + 4x - 5</math>. Llavors, la segona iderivada la tercera derivades sónés: ▼
{{equació|<math>\,f''(x) = 12x^2-12x-72 \quad \rightarrow \quad f'''(x) = 24x - 12</math>}}▼
Els valors pels quals la segona derivada s'anul·la són <math>\,x=3, \; x= -2</math>. Introduint-losSols ahem de considerar aquests valors ja que la tercerafunció i les seves derivades derivadasón obtenimcontínues.▼
▲* EstudiarEstudiem el signe de la segona derivada en cadascun delspels intervals.
{| class="wikitable"
!interval
!signe de la segona derivada
!funció
|-
|<math> (-\infty,-2)</math>
| +
|convexa
|-
|<math> (-2,3)</math>
| -
|concava
|-
|<math> (3,+\infty)</math>
| +
|convexa
|}
Per tant els dos punts són d'inflexió. Si comprovem en la gràfica de la funció, veiem que els valors encaixen.▼
==== Exemple 2 ====▼
Suposem que volem trobar els punts d'inflexió de la funció <math>\,f(x)=|x^3-7x-6|</math>. Seguirem el procediment explicat anteriorment.
* El domini de la funció és <math>D=\mathbb{R}</math>.
Linha 68 ⟶ 82:
&(3,+\infty) & & + \end{matrix}</math>}}
:Com veiem hi ha punts d'inflexió a <math>x=-2,-1,0 \;\mathrm{i}\; 3 \, </math>, ja que en tots ells es produeix un canvi de signe de la segona derivada, és a dir, un canvi de forma a la funció.
=== Segon mètode ===
Aquest mètode només és aplicable en funcions on les successives derivades existeixin en tot el domini. A més a més, és poc pràctic si trobar la tercera derivada és complicat.
 
El procediment es basa en el fet que, considerant els punts on la segona derivada s'anul·la, si la tercera derivada és positiva significa que a la primera derivada hi ha un mínim, i si la tercera derivada és negativa, a la primera hi ha un màxim. Els problemes d'aquest mètode apareixen quan la tercera derivada és igual a zero, ja que llavors sabrem si hi ha un extrem en funció de la quarta derivada, i si aquesta també valgués zero, en la cinquena, i així successivament.
 
El resum del mètode és el següent:
* Trobar la segona derivada <math>\,f''(x)</math> i igualar-la a zero.
* Trobar la tercera derivada i estudiar el signe de la funció en introduir-hi els valor que hem trobat anteriorment. El criteri per determinar si hi ha punt d'inflexió és el següent:
:* Si <math>\,f'''(x)>0</math>, llavors a la primera derivada hi ha un mínim. És a dir, que la funció inicial passa de ser convexa a ser còncava en aquest punt.
:* Si <math>\,f'''(x)<0</math>, llavors a la primera derivada hi ha un màxim. És a dir, que la funció inicial passa de ser còncava a ser convexa.
:* Si <math>\,f'''(x)=0</math>, s'han d'anar buscant les successives derivades fins a arribar a una en què s'obtingui un valor diferent de zero. Depenent de l'ordre d'aquesta derivada, el punt serà d'inflexió o no:
::* Si <math>f^{(n)} \neq 0, n = \dot{2}</math>, llavors no es tracta d'un punt d'inflexió.
::* Si <math>f^{(n)} \neq 0, n \neq \dot{2}</math>, llavors si que es tracta d'un punt d'inflexió.
 
▲==== Exemple 2 ====
▲[[Fitxer: Funcio quarta.svg|thumb|alt=text alternatiu|Gràfica de la funció, que ens permet veure que són correctes els punts d'inflexió que hem trobat.]]
▲Suposem que volem trobar els punts d'inflexió de la següent funció: <math>\,f(x)= x^4 - 2x^3 - 72x^2 + 4x - 5</math>. Llavors, la segona i la tercera derivades són:
▲{{equació|<math>\,f''(x) = 12x^2-12x-72 \quad \rightarrow \quad f'''(x) = 24x - 12</math>}}
▲Els valors pels quals la segona derivada s'anul·la són <math>\,x=3, \; x= -2</math>. Introduint-los a la tercera derivada obtenim
{{equació|<math>\begin{align}&f'''(-2) = -60 \rightarrow \mathrm{Punt \; d'inflexi\acute o: C\grave oncava \to Convexa} \\ &f'''(3) = 60 \rightarrow \mathrm{Punt \; d'inflexi\acute o: Convexa \to C\grave oncava} \end{align}</math>}}
▲Per tant els dos punts són d'inflexió. Si comprovem en la gràfica de la funció, veiem que els valors encaixen.
 
== Notes ==
<references/>
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Punt_d%27inflexió»