Diferència entre revisions de la pàgina «Binomi de Newton»

m
cap resum d'edició
m
== Demostració ==
=== Raonament combinatori ===
Tenint en compte que en l'expressió <math>x=(a+b)^n</math> ''a'' <math>x</math> es pot escriure com el producte de <math>n</math> binomis, <math>x=s_1s_2 \cdots s_n</math>, on cada <math>s_i=a+b</math>., Elel desenvolupament de <math>x</math> és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui <math>a</math> o <math>b</math> – de cada <math>s_i</math>. Per exemple, el terme <math>a^n</math> en el desenvolupament de <math>x</math> s'obté seleccionant <math>a</math> en cada <math>s_i</math>.
 
El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de <math>x</math> queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes <math>s_i</math> tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de <math>t=a^{n-1}b</math>, <math>t</math> es pot formar a base d'agafar <math>b</math> d'un dels <math>s_i</math> i <math>a</math> de tota la resta. Hi ha <math>n</math> formes de seleccionar un <math>s_i</math> per obtenir la <math>b</math>; per tant <math>t</math> s'obté de <math>n</math> formes diferents en el desenvolupament de <math>x</math>, i per tant el seu coeficient és <math>n</math>. En general, per <math>t=a^{n-k}b^k</math>, hi ha
134

modificacions