Incentre: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Errada Etiquetes: Edita des de mòbil Edició web per a mòbils |
Cap resum de modificació Etiqueta: editor de codi 2017 |
||
Línia 1:
== Incentre i exincentres ==
L''''incentre''' d'un [[triangle]] és el [[punt (geometria)|punt]] on es tallen les [[bisectriu|bisectrius]] dels seus angles. Els punts de tall de les bisectrius exteriors amb les interiors s'anomenen '''exincentres''' o '''excentres''' del triangle. L'incentre sempre és interior al triangle i els exincentres li són exteriors.
[[Fitxer:IncentreExincentres 350x353.png|vinheta|550px|'''Incentre''' <math>I</math> i '''exincentres''' <math>I_A</math>, <math>I_B</math> i <math>I_C</math>, d'un triangle <math>\triangle ABC</math>]]
=== Existència i posició{{sfn|Puig Adam|1972|p=92 i 93}} ===
==== Incentre ====
Sigui el triangle <math>\triangle ABC</math> i considerem les bisectrius dels angles <math>\widehat{A} = 2 \alpha</math> i <math>\widehat{B} = 2 \beta</math>.
* Vegem primer que aquestes bisectrius es tallen: com que <math>\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ</math>, tenim que <math>\widehat{A} + \widehat{B} = 2 \alpha + 2 \beta < 180^\circ</math> i, per tant, <math>\alpha + \beta < 90^\circ < 180^\circ</math>. Ara, el [[postulats d'Euclides|cinquè postulat d'Euclides]] demana que les bisectrius es tallin en un punt <math>I</math>, situat en el [[semiplà]] definit pel costat <math>AB</math> que conté els angles <math>\alpha</math> i <math>\beta</math>, és a dir, el semiplà que conté el triangle <math>\triangle ABC</math>. De la mateixa manera, les bisectrius dels angles <math>\widehat{A} = 2 \alpha</math> i <math>\widehat{C} = 2 \gamma</math> es tallen en un punt del semiplà definit pel costat <math>AC</math> que conté el triangle <math>\triangle ABC</math> i les bisectrius dels angles <math>\widehat{B} = 2 \beta</math> i <math>\widehat{C} = 2 \gamma</math> es tallen en un punt del semiplà definit pel costat <math>BC</math> que conté el triangle <math>\triangle ABC</math>.
* Ara trobem on es tallen: l'angle <math>\widehat{A}</math>, que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta <math>AB</math> que conté el [[vèrtex]] <math>C</math> i el determinat per la recta <math>AC</math> que conté el [[vèrtex]] <math>B</math>. Igualment, l'angle <math>\widehat{B}</math>, que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta <math>AB</math> que conté el [[vèrtex]] <math>C</math> i el determinat per la recta <math>BC</math> que conté el [[vèrtex]] <math>A</math>. En conseqüència, el punt <math>I</math> d'intersecció de les bisectrius és a la intersecció d'aquests dos semiplans i de semiplà del paràgraf anterior, és a dir, a l'interior del triangle <math>\triangle ABC</math>. De la mateixa manera, qualsevol altra parella de bisectrius també es tallen en un punt interior del triangle <math>\triangle ABC</math>.
* Finalment, el punt <math>I</math>, com que pertany a la bisectriu de l'angle <math>\widehat{A}</math>, equidista dels seus costats <math>AB</math> i <math>AC</math> i, com que pertany a la bisectriu de l'angle <math>\widehat{B}</math>, equidista dels seus costats <math>BA</math> i <math>BC</math>. En conseqüència, el punt <math>I</math> equidista dels costats <math>CA</math> i <math>CB</math> de l'angle <math>\widehat{C}</math> i, per tant, pertany a la bisectriu de l'angle <math>\widehat{C}</math>. Les tres bisectrius del triangle es tallen, doncs, en el punt <math>I</math>, que és l''''incentre''' del triangle <math>\triangle ABC</math>.
==== Exincentres ====
Ara considerem les bisectrius exteriors dels angles <math>\widehat{A}</math> i <math>\widehat{B}</math>, és a dir, les bisectrius dels angles <math>2 \delta</math> i <math>2 \varepsilon</math> i la bisectriu interior de l'angle <math>\widehat{C} = 2 \gamma</math>.
* Com que <math>2 \delta + 2 \epsilon = 180^\circ - \widehat{A} + 180^\circ - \widehat{B} = 360^\circ - 2 (\alpha + \beta)</math>, tenim que <math>\delta + \epsilon = 180^\circ - (\alpha + \beta) < 180^\circ</math> i, novament segons el cinquè postulat d'Euclides, les bisectrius dels angles <math>2 \delta</math> i <math>2 \varepsilon</math> es tallen en un punt <math>I_C</math> del semiplà determinat pel costat <math>AB</math> que no conté el triangle <math>\triangle ABC</math>. Igualment, qualsevol altra parella de bisectrius exteriors es tallen en un punt exterior al triangle <math>\triangle ABC</math>.
* L'angle <math>2 \delta</math> determinat pel costat <math>AB</math> i la prolongació del costat <math>AC</math> és la intersecció del semiplà definit per la recta <math>AB</math> que no conté el triangle i el semiplà definit per la recta <math>AC</math> que sí conté el triangle. En particular, la bisectriu d'aquest angle és a aquest darrer semiplà. De la mateixa manera, la bisectriu de l'angle <math>2 \varepsilon</math> determinat pel costat <math>AB</math> i la prolongació del costat <math>BC</math> és al semiplà definit per la recta <math>BC</math> que sí conté el triangle. Per tant, el punt <math>I_C</math> d'intersecció de les dues bisectrius és a la intersecció dels dos semiplans, és a dir, a l'interior de l'angle <math>\widehat{C}</math>.
* També, <math>\widehat{B} + \widehat{C} = 2 \beta + 2 \gamma < 180^\circ</math>, o sigui que <math>\beta + \gamma < 90^\circ</math> i, com que, <math>\beta + \varepsilon = 90^\circ</math>, resulta <math>2 \beta + \gamma + \varepsilon = \widehat{B} + \gamma + \varepsilon < 180^\circ</math> i, altra vegada, del cinquè postulat d'Euclides, deduïm que les bisecrius dels angles <math>\widehat{C} = 2 \gamma</math> i <math>2 \varepsilon</math> es tallen en un punt del semiplà determinat pel costat <math>AB</math> que no conté el triangle <math>\triangle ABC</math> i a l'interior de l'angle <math>\widehat{C}</math>. Interseccions similars existeixen per a cada parella de bisectriu exterior i de bisectriu interior de vèrtexs diferents del triangle.
* Però el punt <math>I_C</math> equidista de la recta <math>AC</math> i dela recta <math>AB</math>, perquè pertany a la bisectriu de l'angle <math>2 \delta</math>. També equidista de la recta <math>BC</math> i dela recta <math>AB</math>, perquè pertany a la bisectriu de l'angle <math>2 \varepsilon</math>. En conseqüència, equidista de les rectes <math>AC</math> i <math>BC</math>, com que jau a l'interior de l'angle <math>\widehat{C}</math>, és de la bisectriu d'aquest angle <math>\widehat{C}</math>. Les dues bisectrius exteriors corresponents als vèrtexs <math>A</math> i <math>B</math> i la bisectriu interior de l'angle <math>\widehat{C}</math> es tallen en el punt <math>I_C</math>, a l'exterior del triangle <math>\triangle ABC</math>, però a l'interior de l'angle <math>\widehat{C}</math>. Aquest punt és un '''exincentre''' del triangle i, de la mateixa manera, en resulta l'existència i posició dels altres dos exincentres, <math>I_A</math> i <math>I_B</math>.
[[Fitxer:BisectriusCevianes 385x350.png|vinheta|210px|Les bisectrius interiors d'un triangle com a línies cevisnes.]]
=== Les bisectrius com a cevianes ===
Les bisectrius d'un triangle són línies [[ceviana|cevianes]]. Segons el [[teorema de la bisectriu]] hi ha proporcionalitat entre els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat. Aleshores,
<center><math>
\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{AB}{AC},
\qquad
\dfrac{QC}{QA} = \dfrac{BC}{BA},
\qquad
\dfrac{RA}{RB} = \dfrac{CA}{CB}
</math></center>
Aleshores,
<center><math>
\dfrac{PB}{PC} \, \dfrac{QC}{QA} \, \dfrac{RA}{RB} = \dfrac{AB}{AC} \, \dfrac{BC}{BA} \, \dfrac{CA}{CB} = 1
</math></center>
i, segons el [[teorema de Ceva]], les tres bisectrius es tallen en un punt: l''''incentre''' del triangle. Un ús similar dels teoremes de la bisectriu i de Ceva amb les bisectrius exteriors i interiors mostra l'existència dels '''exincentres'''.
=== Coordenades de l'incentre ===
Les [[coordenades cartesianes]] de l'incentre són una [[mitjana ponderada]] de les coordenades dels tres [[vèrtex (geometria)|vèrtexs]]. Si els tres vèrtexs són <math>A = (x_a, y_a)</math>, <math>B = (x_b, y_b)</math>, i <math>C = (x_c, y_c)</math>, els [[vector posició|vectors posició]] respectius són <math>\vec{A} = {x_a \choose y_a}</math>, <math>\vec{B} = {x_b \choose y_b}</math> i <math>\vec{C} = {x_c \choose y_c}</math>, i els costats oposats del triangle tenen com a longituds <math>a</math>, <math>b</math>, i <math>c</math>, llavors el vector posició de l'incentre és
<center>
{{teorema
|1=
<center><math>
\vec{I} = \dfrac{a}{a + b + c} \, \vec{A} + \dfrac{b}{a + b + c} \, \vec{B} + \dfrac{c}{a + b + c} \, \vec{C}
</math></center>
}}
</center>
i l'incentre <math>I</math> és a
<center>
{{teorema
|1=
<center><math>
I = \left(\dfrac{a x_a + b x_b + c x_c}{a + b + c},\frac{a y_a + b y_b + c y_c}{a + b + c}\right)
</math></center>
}}
</center>
En efecte,
* Pel teorema de la bisectriu, aplicat a les bisectrius dels angles <math>\widehat{A}</math> i <math>\widehat{B}</math>,
<center><math>
\dfrac{c}{b} = \dfrac{BP}{PC} = \dfrac{BP}{BC - BP} = \dfrac{BP}{a - BP},
\qquad
\dfrac{c}{a} = \dfrac{AQ}{QC} = \dfrac{AQ}{AC - AQ} = \dfrac{AQ}{b - AQ}
</math></center>
que dóna
<center><math>
BP = \dfrac{ac}{b+c},
\qquad
AQ = \dfrac{bc}{a+c}
</math></center>
* Pels [[vector|vectors]] <math>\overrightarrow{BP}</math> i <math>\overrightarrow{AQ}</math> tenim:
<center><math>
\overrightarrow{BP} = \dfrac{BP}{BC} \, \overrightarrow{BC} = \dfrac{BP}{a} \, \overrightarrow{BC} = \dfrac{c}{b + c} \, \overrightarrow{BC},
\qquad
\overrightarrow{AQ} = \dfrac{AQ}{AC} \, \overrightarrow{AC} = \dfrac{AQ}{b} \, \overrightarrow{AC} = \dfrac{c}{a + c} \, \overrightarrow{AC}
</math></center>
* Pels vectors <math>\overrightarrow{AI}</math> i <math>\overrightarrow{BI}</math> hi ha nombres reals <math>\lambda</math> i <math>\mu</math> amb <math>\overrightarrow{AI} = \lambda\overrightarrow{AP}</math> i <math>\overrightarrow{BI} = \mu\overrightarrow{BQ}</math>. Aleshores, tot expressant el vector <math>\overrightarrow{AI}</math> d'aquestes dues maneres, <math>\overrightarrow{AI} = \lambda\overrightarrow{AP}</math> i <math>\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}</math>, tenim:
<center><math>
\left\{
\begin{array}{lcl}
\overrightarrow{AI} &=& \lambda\overrightarrow{AP} = \lambda\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP}\right) = \lambda\left(\overrightarrow{AB} + \dfrac{c}{b + c} \,\overrightarrow{BC}\right) = \lambda \overrightarrow{AB} + \dfrac{\lambda c}{b + c} \,\overrightarrow{BC} \\
\overrightarrow{AI} &=& \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AB} + \mu \left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AQ}\right) = \overrightarrow{AB} + \mu \left(\overrightarrow{BA} + \dfrac{c}{a + c} \, \overrightarrow{AC}\right) = \\
&=& \overrightarrow{AB} + \mu \left(\overrightarrow{BA} + \dfrac{c}{a + c} \, \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right)\right) = \left(1 - \mu + \dfrac{\mu c}{a + c}\right) \overrightarrow{AB} + \dfrac{\mu c}{a + c} \, \overrightarrow{BC}
\end{array}
\right.
</math></center>
*Ara, la [[independència lineal]] dels vectors <math>\overrightarrow{AB}</math> i <math>\overrightarrow{BC}</math> demana que
<center><math>
\left\{
\begin{array}{rcl}
\lambda &=& 1 - \mu + \dfrac{\mu c}{a + c} \\
\dfrac{\lambda c}{b + c} &=& \dfrac{\mu c}{a + c}
\end{array}
\right.
</math></center>
* El sistema anterior, que és un [[sistema d'equacions lineals|sistema lineal]], té les solucions
<center><math>
\lambda = \dfrac{b + c}{a + b + c}
\qquad
\mu = \dfrac{a + c}{a + b + c}
</math></center>
* Finalment,
<center><math>
\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{I} &=& \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{AB} + \dfrac{\lambda c}{b + c} \,\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A} + \lambda \left(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\right) + \dfrac{\lambda c}{b + c} \, \left(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\right) = \\
&=& \overrightarrow{A} + \dfrac{b + c}{a + b + c} \left(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\right) + \dfrac{c}{a + b + c} \, \left(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\right) = \\
&=& \dfrac{a}{a + b + c} \, \vec{A} + \dfrac{b}{a + b + c} \, \vec{B} + \dfrac{c}{a + b + c} \, \vec{C}
\end{array}
</math></center>
<div style="clear: both;"></div>
== Circumferències inscrita i exinscrites a un triangle ==
[[Fitxer:IncercleExincercles 600x624.png|vinheta|950px|'''Circumferència inscrita''' <math>\mathfrak{I}</math> i '''circumferències exinscrites''' <math>\mathfrak{E}_A</math>, <math>\mathfrak{E}_B</math> i <math>\mathfrak{E}_C</math> al triangle <math>\triangle{ABC}</math>]]
Com que l'incentre <math>I</math> d'un triangle <math>\triangle ABC</math> equidista dels seus costats <math>a</math>, <math>b</math> i <math>c</math>, els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència <math>\mathfrak{I}</math> amb centre a l'incentre <math>I</math> i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la '''[[circumferència inscrita]]''' al triangle (també: '''cercle inscrit''' o '''incircle''').
El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les '''[[circumferència inscrita|circumferències exinscrites]]''' al triangle (també: '''cercles exinscrits''', '''exincercles''' o '''excercles''').
<div style="clear: both;"></div>
== Vegeu també ==
* [[Circumferència inscrita]]
* [[Teorema de la bisectriu]]
* [[Teorema de Ceva]]
== Referències ==
{{referències}}
== Bibliografia ==
# {{Ref-llibre|cognom=Coxeter|nom=Harold Scott MacDonald|cognom2= Greitzer|nom2=Samuel L.|títol=Geometry Revisited|llengua=anglès|data=1972|editorial=Mathematical Association of America|lloc=Washington D. C. (USA)|isbn=ISBN-0-88385-619-0|url=http://www.aproged.pt/biblioteca/geometryrevisited_coxetergreitzer.pdf}}
# {{Ref-llibre|cognom=Puig Adam|nom=Pedro|títol=Curso de Geometría Métrica|llengua=Espanyol|data=1972|editorial=Biblioteca Matemática|lloc=Madrid}}
== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}
* {{GEC|0115953|incentre}}
* {{MathWorld |title=Incenter |urlname=Incenter}}
{{Triangle}}
| |||