Binomi de Newton: diferència entre les revisions

Si escrivim <math>(a+b)^n=a^n(1+\frac{b}{a})^n </math> podem anomenar <math>x=\frac{b}{a}</math> i escriure <math>\alpha</math> en lloc de <math>n</math>. La funció <math>f(x)=(1+x)^\alpha</math>rep el nom de funció binomial i té sentit també si <math>\alpha</math> és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de <math>\alpha</math>, i es coneix com sèrie binomial o expansió binomial<ref>{{Ref-llibre|cognom=M. Abramowitz; I. A. Stegun (eds.)|nom=|títol=Handbook of Mathematical Functions: with formulas, graphs, and mathematical tables|url=people.math.sfu.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf|edició=|llengua=Anglèsanglès|data=1970|editorial=Dover|lloc=|pàgines=|isbn=0486612724}}</ref> <ref>{{Ref-llibre|cognom=F.W.J. Oliver, et al. (eds.)|nom=|títol=NIST Handbook of Mathematical functions|url=|edició=|llengua=|data=2010|editorial=Cambridge University Press|lloc=Cambridge|pàgines=|isbn=9780521140638}}</ref>. Aquesta generalitza el Binomi de Newton <math>(1)</math>, que és el cas en què <math>\alpha</math> és un nombre natural.

on <math>{\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}</math>, (regla mnemotècnica: hi ha <math>k</math> factors en el numerador i <math>k</math> factors en el denominador)<ref>{{Ref-web|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series|títol=Binomial Series|consulta=04/07/2017|llengua=Anglèsanglès|editor=|data=04/07/2017}}</ref>.

Segons <ref>{{Ref-llibre|cognom=Suzuki|nom=Jeff|títol=Mathematics in Historical Context|url=|edició=|llengua=Anglèsanglès|data=|editorial=The Mathematical Association of America|lloc=|pàgines=|isbn=978-0-88385-570-6}}</ref>, p. 226, la primera aparició escrita del teorema del binomi va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676. A la mateixa referència, p. 233, es diu que Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.