Teoria de conjunts: diferència entre les revisions

Estrictament parlant, els axiomes de ZF són simplement enunciats del [[càlcul dels predicats]] del primer ordre, equivalent a un llenguatge que té un sol símbol primitiu per a la pertinença ([[relació binària]]). Per tant, el que segueix s'ha d'entendre només com una temptativa d'expressar en català el significat que s'espera d'aquests axiomes. És més, l'axioma de separació (o comprensió) i l'axioma de substitució són, de fet, esquemes infinits d'axiomes.

 

# [[Axioma del conjunt buit]]: existeix un conjunt sense cap element. Es nota <math>\varnothing</math> (o menys freqüentment <math>\{\}</math>). Parlant en propietat, Aquest axioma no forma part de l'axiomatització de ZF, pel cap baix en la seva versió actual, formalitzada en càlcul de predicats de primer ordre. Es pot deduir d'una propietat genèrica del càlcul de predicats, que és que un model d'una teoria és no buit. En el cas de la teoria dels conjunts, això significa dir que existeix almenys un conjunt, i aquesta propietat no requereix cap axioma específic: es demostra en lògica pura. D'aquí es dedueix, per l'esquema d'axiomes de comprensió, l'existència del conjunt buit. Tanmateix, aquest axioma es troba en variants de la teoria dels conjunts, o en presentacions més antigues o semiformals de la teoria ZF, com a la de Paul Halmos.<ref name="halmos">Paul Richard Halmos, ''Naive Set Theory'', D. Van Nostrand Company, Princeton, NJ, 1960. Reprinted, Springer-Verlag, New York, NY, 1974, ISBN 0-387-90092-6. trad. Française ''Introduction à la théorie des ensembles, Gauthier-Villars Paris 1965.''</ref>

# [[Axioma d'aparellament]]: si ''x'' i ''y'' són dos conjunts; llavors, existeix un conjunt que conté ''x'' i ''y'' i només aquests com a elements. Aquest conjunt es nota <math>\{x,y\}</math>Cal observar que ''x'' i ''y'' no són necessàriament diferents. Aquest axioma és conseqüència de l'[[esquema de substitució]], però no de l'[[esquema de comprensió]]; també se'l pot ometre en la teoria ZF, però és indispensable en la teoria Z.