|
=== Cas en què ''n'' és igual a quatre ===
En tota l'obra matemàtica que va deixar Fermat, no se'n troba més que una demostració: la prova d'aquest cas,<ref name="MacTutorFLT">{{MacTutor|class=~history/HistTopics|id=Fermat's_last_theorem|title=Fermat's last theorem}}</ref> sota una formulació diferent. Demostra en efecte que no existeix cap terna pitagòrica (''x'', ''y'', ''z'') tal que ''xy''/2 sigui un [[Quadrat (àlgebra)|quadrat]] d'un enter, que s'expressa com l'[[Àrea de superfície|àrea]] d'un [[triangle rectangle]] no pot ser igual a la d'un [[Quadrat perfecte|quadrat]].<ref>« <span class="italique">Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus »</span>, traduit par Paul Tannery et Charles Henry, ''Œuvres de Fermat'', vol. 3, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62145354/f299.image § 45 : Problème 20 de Bachet sur Diophante, VI, 26, p. 271-272].</ref> Com que aquest resultat equival a l'absència de solucions enteres no trivials per l'equació ''a''<sup>4</sup> – ''b''<sup>4</sup> = ''c''<sup contenteditable="false">2</sup>, el cas ''n'' = 4 n'és un corol·lari immediat. Per aquesta raó, es considera de manera general que Fermat va demostrar aquest cas.<ref>R. Nogues, ''Théorème de Fermat. ''</ref><ref>Cette information est corroborée par exemple par la page ''[http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-4.html Fermat's Last Theorem: n = 4]'' du blog {{En}} ''[http://fermatslasttheorem.blogspot.com/ Fermat's Last Theorem]'' de Larry Freeman.</ref>
El mètode utilitzat és el del [[Mètode del descens infinit|descens infinit]]. Consisteix a trobar una altra terna que sigui solució de la qual el tercer enter és positiu estrictament inferior que el de la solució inicial. És per tant possible ''descendir indefinidament'' en el conjunt dels enters positius, cosa contradictòria amb les propietats de ℕ.
=== Cas en què ''n'' és igual a tres ===
El cas ''n'' = 3 és més complex.<ref>{{Dickson1}}, vol. 2, « <span class="italique">Impossibility of <span class="texhtml">x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup ></span> »</span>, [https://books.google.fr/books?id=9LQqAwAAQBAJ&pg=PA548 <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 545-550].</ref> [[Leonhard Euler|Euler]] va escriure a [[Christian Goldbach|Goldbach]] el [[1753]], indicant-lo que l'havia resolt. L'única prova que va publicar, el 1770 en el seu ''Algebra'', és tanmateix incomplet,<ref>« <span class="italique">The most common statement is that Euler did give a proof of the case n = 3 of Fermat's Last Theorem but that his proof was “incomplete” in an important respect. </span></ref> per un punt crucial. Euler és força confús en aquest indret, però sembla que l'argument que utilitza implícitament sigui erroni, i no en va tornar a parlar més tard.<ref name="Edwards44">{{Harvsp|Edwards|2000|p=44-45}}</ref> Tanmateix la demostració, si bé no és fàcil de corregir, usa mètodes que Euler havia usat per altres proposicions de Fermat.<ref>{{Harvsp|Edwards|2000|p=39-40}}</ref> És igual de possible que Euler tingués el 1753 una demostració correcta, ja que hagués volgut utilitzar posteriorment un argument més elegant, usant els [[Nombre complex|nombres complexes]] descrit a continuació.<ref name="Edwards44">{{Harvsp|Edwards|2000|p=44-45}}</ref><ref name="MacTutorFLT">{{MacTutor|class=~history/HistTopics|id=Fermat's_last_theorem|title=Fermat's last theorem}}</ref>
Per a aquesta demostració, estudia els nombres els cubs dels quals té la forma ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> amb ''p'' i ''q'' primers entre si. Per això, utilitza un mètode original per l'època : descompon ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> = (''p'' + {{Math|i}}√3''q'')(''p'' – {{Math|i}}√3''q'') i busca els nombres de la forma ''a'' + {{Math|i}}''b''√3 el cub dels quals és ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' : en termes moderns, treballa dins de l'[[Anell (matemàtiques)|anell]] ℤ[i<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√3</span>i√3]. El resultat que obté passa al conjugat ''p'' – {{Math|i}}√3''q''. En dedueix el resultat afirmant que si ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> és un cub ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' i ''p'' – {{Math|i}}√3''q'' igualment, del fet que ''p'' i ''q'' són primers entre ells, llavors- diu ell — ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' i ''p'' – {{Math|i}}√3''q'' també. Es demostra fàcilment pels enters ordinaris que el producte de dos nombres coprimers és un cub, llavors cap d'ells ho és, per exemple pel [[lema d'Euclides]] o més simplement per la [[Teorema fonamental de l'aritmètica|unicitat de la descomposició en factors primers]]. De fet encara es compleix per ℤ[i<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√3</span>i√3] però per raons diferents. Euler no dón l'argument però, segons desprèn la resta del seu llibre, sembla clar que la seva convicciórau en una analogia amb els enters.<ref>La démonstration d'Euler est décrite et discutée dans {{Harvsp|Edwards|2000|p=40-46}}. </ref> O 2 x 2 = (1 + i √3)(1 - i √3), no hi ha unicitat en la descomposició en irreductibles dins de ℤ[i<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√3</span>i√3].
[[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] va demostrar (en una publicació pòstuma<ref ><span class="indicateur-langue">(<abbr class="abbr" title="Langue : allemand">de</abbr>) <cite lang="de" style="font-style:normal">« Neue Theorie der Zerlegung der Cuben »</cite>, dans C. F. Gauss, <cite class="italique" lang="de">Werke</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> </span></ref>) per [[Mètode del descens infinit|descens infinit]] com Euler però correctament i de manera més simple i raonant amb [[Enter d'Eisenstein|l'anell ℤ[j<nowiki>]</nowiki>]] dels enters d'Eisenstein ({{Math|j}} designa una [[Arrel de la unitat|arrel cúbica no trivial de la unitat]]). És potser (entre d'altres) aquest succés el que el fa desmentir la [[conjectura]] de Fermat,<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Number Theory: Algebraic Numbers and Functions|numéro dans collection=24|collection={{Lien|Graduate Studies in Mathematics|texte=GSM}}|auteur={{Lien|lang=de|trad=Helmut Koch (Mathematiker)|Helmut Koch (mathématicien)|texte=Helmut Koch}}|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2000|isbn=978-0-82182054-4|passage=78|url=http://books.google.fr/books?id=qEwpwWyVPIAC&pg=PA78}}</ref> que classific entre els nombre enunciats fàcils de proposar però massa generals per ser demostrats o refutats.<ref>{{De}} « <span class="italique">Ich gestehe zwar, dass das Fermatsche Theorem als isolirter Satz für mich wenig Interesse hat, denn es lassen sich eine Menge solcher Sätze leicht aufstellen die man weder beweisen, noch widerlegen kann. » </span>, <span class="indicateur-langue">(<abbr class="abbr" title="Langue : allemand">de</abbr>) <cite lang="de" style="font-style:normal">« Gauss an [[Heinrich Olbers|Olbers]], Göttingen, 1816 März 21 »</cite>, dans C. F. Gauss, <cite class="italique" lang="de">Werke</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> </span></ref>
L'anell ℤ[j] és [[Anell factorial|factorial]] — contràriament al sub-anell ℤ[2j] = ℤ[i√3] — és-a-dir que en aquest anell, la décomposition en irréductibles és única. En efecte, es demostra dins de ℤ[j] l'equivalent del lema d'Euclides, a saber que tot irreductible és un element primer, anomenat nombre primer de Eisenstein. La utilització d'anells d'enters algebraics ben escollits és una de les tècniques més importanta del segle XIX per a la resolució del teorema per certs exponents. Quan no són factorials, s'han d'usar altres tècniques.
| 