Demostració de l'últim teorema de Fermat: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot elimina tags span que no fan res. |
m Robot elimina tags span que no fan res. |
||
Línia 70:
=== Cas en què ''n'' és igual a tres ===
El cas ''n'' = 3 és més complex.<ref>{{Dickson1}}, vol. 2, « Impossibility of
Per a aquesta demostració, estudia els nombres els cubs dels quals té la forma ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> amb ''p'' i ''q'' primers entre si. Per això, utilitza un mètode original per l'època : descompon ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> = (''p'' + {{Math|i}}√3''q'')(''p'' – {{Math|i}}√3''q'') i busca els nombres de la forma ''a'' + {{Math|i}}''b''√3 el cub dels quals és ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' : en termes moderns, treballa dins de l'[[Anell (matemàtiques)|anell]] ℤ[i√3]. El resultat que obté passa al conjugat ''p'' – {{Math|i}}√3''q''. En dedueix el resultat afirmant que si ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> és un cub ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' i ''p'' – {{Math|i}}√3''q'' igualment, del fet que ''p'' i ''q'' són primers entre ells, llavors- diu ell — ''p'' + {{Math|i}}√3''q'' i ''p'' – {{Math|i}}√3''q'' també. Es demostra fàcilment pels enters ordinaris que el producte de dos nombres coprimers és un cub, llavors cap d'ells ho és, per exemple pel [[lema d'Euclides]] o més simplement per la [[Teorema fonamental de l'aritmètica|unicitat de la descomposició en factors primers]]. De fet encara es compleix per ℤ[i√3] però per raons diferents. Euler no dón l'argument però, segons desprèn la resta del seu llibre, sembla clar que la seva convicciórau en una analogia amb els enters.<ref>La démonstration d'Euler est décrite et discutée dans {{Harvsp|Edwards|2000|p=40-46}}. </ref> O 2 x 2 = (1 + i √3)(1 - i √3), no hi ha unicitat en la descomposició en irreductibles dins de ℤ[i√3].
| |||