Diferència entre revisions de la pàgina «Binomi de Newton»

cap resum d'edició
m (Robot modifica l'enllaç a una altra wiki)
 
El '''[[Binomi]] de [[Isaac Newton|Newton]]''' <ref>{{Ref-llibre|cognom=Rade, Lennart; Westergren, Bertil|nom=|títol=Mathematics Handbook for Science and Engineering|url=http://www.springer.com/gp/book/9783540211419|edició=|llengua=|data=|editorial=Springer|lloc=|pàgines=|isbn=ISBN 978-3-662-08549-3}}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom=Bronshtein, I.; Semendiaev, K.|nom=|títol=Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes|url=|edició=|llengua=Castellà|data=1977|editorial=MIR|lloc=Moscú|pàgines=|isbn=}}</ref> o '''teorema del binomi''' és una fórmula que serveix per a calcular la potència <math>n</math> d'un '''binomi''' <math>(a+b)
</math>. És per tant una generalització de les fórmules elementals <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> i <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>. Aquestes dues formen part del que s'anomenen [[Identitat notable|Identitats notables]], i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes. El cas general, que és pròpiament l'anomenat Binomi de Newton o fórmula del binomi, utilitza nombres [[combinatòria|combinatoris]], i diu:
 
<math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}, \quad\quad\quad\quad\quad (1)</math>
== Demostració ==
=== Raonament combinatori ===
Tenint en compte que en l'expressió <math>x=(a+b)^n</math>, veiem que <math>x</math> es pot escriure com el producte de <math>n</math> binomis, <math>x=s_1s_2 \cdots s_n</math>, on cada <math>s_i=a+b</math>, i el desenvolupament de <math>x</math> és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui <math>a</math> o <math>b</math> – de cada <math>s_i</math>. Per exemple, el terme <math>a^n</math> en el desenvolupament de <math>x</math> s'obté seleccionant <math>a</math> en cada <math>s_i</math>.
 
El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de <math>x</math> queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes <math>s_i</math> tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de <math>t=a^{n-1}b</math>, <math>t</math> es pot formar a base d'agafar <math>b</math> d'un dels <math>s_i</math> i <math>a</math> de tota la resta. Hi ha <math>n</math> formes de seleccionar un <math>s_i</math> per obtenir la <math>b</math>; per tant <math>t</math> s'obté de <math>n</math> formes diferents en el desenvolupament de <math>x</math>, i per tant el seu coeficient és <math>n</math>. En general, per <math>t=a^{n-k}b^k</math>, hi ha
 
== Història ==
Segons,<ref>{{Ref-llibre|cognom=Suzuki|nom=Jeff|títol=Mathematics in Historical Context|url=|edició=|llengua=anglès|data=|editorial=The Mathematical Association of America|lloc=|pàgines=|isbn=978-0-88385-570-6}}</ref> p. 226, la primera aparició escrita delde teoremala delsèrie binomibinomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676. A la mateixa referència, p. 233, es diu que Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.
 
Més referències històriques a l'escrit Potència d'un Binomi, de R. Nolla, esmentat als Enllaços externs.
 
== Comentaris ==
És famós el vers del poeta portuguès Fernado Pessoa: ''O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo./ O que há é pouca gente para dar por isso.'' <ref>{{Ref-web|url=http://arquivopessoa.net/textos/224|títol="Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo".|consulta=24/11/2017|llengua=Portuguès|editor=arquivopessoa.net|data=}}</ref> (El binomi de Newton és tan bell com la Venus de Milo./ El que passa és que poques persones ho noten.)
 
== Vegeu també ==
134

modificacions