Diferència entre revisions de la pàgina «Binomi de Newton»

Canviades algunes paraules, afegit un exemple numèric, canviar tipus de lletra en fórmules matemàtiques, referència a Pessoa
(Canviades algunes paraules, afegit un exemple numèric, canviar tipus de lletra en fórmules matemàtiques, referència a Pessoa)
 
* per <math>n=3</math> : <math>(a+b)^3= {3 \choose 0}a^3 + {3 \choose 1}a^2 b + {3 \choose 2}a b^2 + {3 \choose 3} b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3 </math>
* <math>12^3=(10+2)^3=10^3+3\ 10^2\ 2+3\ 10\ 2^2+2^3=1000+600+120+8=1728</math>
Quan tenim <math>(a-b)^n</math>, n'hi ha prou amb escriure-ho com <math>(a+(-b))^n</math>, amb el que s'obté <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>, <math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math> i, en general,
 
 
=== Demostració algebraica ===
Una altra forma de demostrar el teorema binomial és per [[Prova per inducció|inducció]]. QuantQuan ''<math>n'' = 0</math>, es té
 
:<math> (a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.</math>
 
Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quantquan l'exponent val ''<math>m''</math>. Llavors per ''<math>n''&nbsp;=&nbsp;''m''&nbsp;+&nbsp;1</math>
 
:<math> (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,</math><math> = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j</math>
::<math> = \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}</math>
 
Traient fora del sumatori el terme ''<math>k'' = 0</math>
 
::<math> = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}</math>
 
fent <math>j=k-1</math>
fent ''j'' = ''k''&nbsp;−&nbsp;1
 
::<math> = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}</math>
 
Traient fora del sumatori de la dreta el terme ''<math>k'' = ''m''&nbsp;+&nbsp;1</math>
 
::<math> = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}</math>
::<math> = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k</math>
 
Afegint dins dels sumatori els termes ''<math>m''&nbsp;+&nbsp;1.</math>
 
::<math> = \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k</math>
 
== Comentaris ==
És famós el vers del poeta portuguès [[Fernado Pessoa]]: ''O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo./ O que há é pouca gente para dar por isso.'' <ref>{{Ref-web|url=http://arquivopessoa.net/textos/224|títol="Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo".|consulta=24/11/2017|llengua=Portuguès|editor=arquivopessoa.net|data=}}</ref> (El binomi de Newton és tan bell com la Venus de Milo./ El que passa és que poques persones ho noten.)
 
== Vegeu també ==
134

modificacions