|
[[Fitxer:Gaussian_curvature.svg|thumb|D'esquerreesquerra a dreta: una superfície de curvatura Gaussianagaussiana negativa ([[hiperboloide]]), una superfície de curvatura Gaussianagaussiana zero ([[cilindre]]), i una superfície de curvatura Gaussianagaussiana positiva ([[esfera]]).]]
[[Fitxer:Torus_Positive_and_negative_curvature.png|thumb|Alguns punts en el tor té positiu, alguns tenen negatius, i alguns tenen curvatura Gaussiana zero.]]
En [[geometria diferencial]] clàssica, la curvatura Gaussianagaussiana (o Gauss curvatura de Gauss) ''Κ'' d'una superfície aen un punt és el producte de les [[curvatures principals]], ''κ''<sub>1</sub> i ''κ''<sub>2</sub>, alen el punt donat:
: <math> \Kappa = \kappa_1 \kappa_2.</math>
Per exemple, una esfera de radisradi r té curvatura Gaussianagaussiana ''1/r<sup>2</sup>'' a tot arreu, i un pla gras i un cilindre tenen curvatura Gaussianagaussiana 0 a tot arreu. La curvatura Gaussianagaussiana també pot ser negativa, com en el cas d'un [[hiperboloide]] o l'interior d'un [[Tor (geometria)|torustor]].
La curvatura Gaussianagaussiana és una mesura ''intrínseca'' de [[curvatura]], depenent només ende distàncies que són mesurades ena la superfície, i no ende elcom camíestà és isomètricamentimmergida incrustat en qualsevola l'espai. AixòAquest és el contingut del ''[[:en:Theorema_egregium|Theorematheorema egregium]]'' de [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]], qui el va publicar l'any 1827, i del qual la curvatura gaussiana porta el nom.
La curvatura Gaussiana és anomenada després que [[Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauss]] qui va publicar el Theorema egregium dins 1827.
== Definició informal ==
[[Fitxer:Minimal_surface_curvature_planes-en.svg|dreta|thumb|300x300px|[[Punt de sella|Superfície de sella]] amb avions normals en direccions de curvatures principals]]
A qualsevol punt en una superfície podem trobar un [[vector normal]] que és en angle recte a la superfície; els avions que contenen el vector normal és anomenat [[Avió normal s|plana normal s]]. La intersecció d'una plana normal i la superfície formaran una corba anomenada una [[secció normal]] i la curvatura d'aquesta corba és la [[curvatura normal]]. Per la majoria de punts en més superfícies, les seccions normals diferents tindran curvatures diferents; els valors màxims i mínims d'aquests són cridats les [[curvatures principals]], anomenats aquests κ<sub>1</sub>, κ<sub>2</sub>. La '''curvatura Gaussianagaussiana''' és el producte de les dues curvatures principals Κ = κ<sub>1</sub> κ<sub>2</sub>.
El signe de la curvatura Gaussianagaussiana pot ser utilitzada per caracteritzar la superfície.
* Si ambdues curvatures principals són el mateix signe: κ<sub>1</sub>κ<sub>2</sub> > 0, llavors la curvatura Gaussianagaussiana és positiva i la superfície és dita per tenir un eliptic punt. A tals punts la superfície es farà com, localment estirant damunt un costat del seu avió de tangent. Totes les curvatures seccionades tindran el mateix signe.
* Si les curvatures principals tenen signes diferents: κ<sub>1</sub>κ<sub>2</sub> < 0, llavors la curvatura Gaussianagaussiana és negativa i la superfície és dita per tenir un hiperbòlic o [[punt de sella]]. A tals punts la superfície serà conformat sella. Perquè una curvatura principal és negativa, una és positiva, i la curvatura normal varia contínuament si tu gires un avió ortogonal a la superfície al voltant del normal a la superfície en dues direccions les curvatures normals seran zero donant les [[corbes Asimptòtiques]] per aquell punt.
* Si una de les curvatures principals és zero: κ<sub>1</sub>κ<sub>2</sub> = 0, la curvatura Gaussianagaussiana és zero i la superfície és dita per tenir un punt parabòlic.
La majoria de superfícies contindran regions de curvatura Gaussianagaussiana positiva (punts el·líptics) i regions de la curvatura Gaussianagaussiana negativa separada per una corba dels punts amb curvatura Gaussianagaussiana zero anomenada una [[:en:Parabolic_line|línia parabòlica]].
== Relació amb geometries ==
Quan una superfície té una curvatura Gaussianagaussiana zero constant llavors és un [[superfície desnvolupable]] i la geometria de la superfície és [[Geometria euclidiana|geometria Euclidiana]].
Quan una superfície té una curvatura Gaussianagaussiana positiva constant llavors és una [[esfera]] i la geometria de la superfície és [[geometria esfèrica]].
Quan una superfície té una curvatura Gaussianagaussiana negativa constant llavors és un [[:en:Pseudospherical_surface|pseudospherical superfície]] i la geometria de la superfície és [[geometria hiperbòlica]].
== Discussió informal més llunyana ==
En [[geometria diferencial]], les dues '''curvatures principals''' a un punt donat d'una [[Superfície (matemàtiques)|superfície]] és el [[valor propi]] de l'[[operador de forma]] al punt. Mesuren com les corbes de superfície per quantitats diferents en direccions diferents en aquest punt. Representem la superfície pel [[Teorema de la funció implícita|teorema de funció implícit]] com el graf d'una funció, ''f'', de dues variables, de tal manera que el punt ''p'' és un punt crític, i.e., el gradient de ''f'' desapareix (això sempre pot ser assolit per un moviment rígid adequat). Llavors la curvatura Gaussianagaussiana de la superfície a ''p'' és el determinant del [[Matriu hessiana|matriu hessiana]] de'' f'' (sent el producte del valor propi del Hessian). (Recorda que el Hessian és la matriu 2-per-2 de segons derivats.) Aquesta definició permet una immediatament per agafar la distinció entre gorra/tassa ''versus'' punt de sella.
== Definicions alternatives ==
On <math>\nabla_i = \nabla_{{\mathbf e}_i}</math> és el [[Derivada covariant|derivat covariant]] i ''g'' és el [[tensor mètric]].
En un punt '''p''' sobre una superfície regular en '''R'''<sup>3</sup>, la curvatura Gaussianagaussiana també és donada per
: <math>K(\mathbf{p}) = \det(S(\mathbf{p})),</math>
on ''S'' és l'[[operador de forma]].
Una fórmula útil per la curvatura Gaussianagaussiana és [[l'equació de Liouville]] en termes del Laplacià en [[:en:Isothermal_coordinates|coordenades isotermes]].
== Curvatura total ==
[[Fitxer:Hyperbolic_triangle.svg|thumb|La suma dels angles d'un triangle en una superfície de curvatura negativa és menys que aquell d'un triangle pla.]]
La [[integral de superfície]] de la curvatura Gaussianagaussiana per damunt alguna regió d'una superfície és anomenada la '''curvatura total.''' La curvatura total d'un [[triangle]] [[Geodèsica|geodèsics]] equival a la desviació de la suma dels seus angles de π. La suma dels angles d'un triangle en una superfície de curvatura positiva superarà π, mentre la suma dels angles d'un triangle en una superfície de curvatura negativa serà menys de π. En una superfície de curvatura zero, com [[la plana d'Euclidià]], els angles sumaran precisament π radiants.
: <math>\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA.</math>
Un resultat més general és el [[:en:Gauss–Bonnet_theorem|teorema de Barret-Gauss]].
=== Theorema egregium ===
El Theorema Egregium de Gauss (llatí: "teorema notable") declara que la curvatura Gaussianagaussiana d'una superfície pot ser determinada de les mides de longitud en la superfície mateixa. De fet, es pot trobar donat el coneixement ple de la [[primera forma fonamental]] i expressat via la primera forma fonamental i els seus derivats parcials de primer i segon ordre. De manera equivalent, el [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] de la [[segona forma fonamental]] d'una superfície en '''R'''<sup>3</sup> pot ser tan bé expressat. El "notable", i sorprenent, característica d'aquest teorema és que tot i que la definició de la curvatura Gaussianagaussiana d'una superfície ''S'' en '''R'''<sup>3</sup> certament depén en el camí en quina superfície és localitzada en espacial, el resultat de final, la curvatura Gaussianagaussiana mateixa, és determinada per l'[[intrínsec mètric]] de la superfície sense qualsevol referència més llunyana a l'espai ambiental: és una [[intrínseca invariant]]. En particular, la curvatura Gaussianagaussiana és invariable sota deformacions [[isomètriques]] de la superfície
En [[geometria diferencial]] contemporània, una "superfície", vista abstractament, és un [[col·lector diferenciable]] bidimensional. Per connectar aquest punt de vista amb la [[teoria clàssica de superfícies]], tal una superfície abstracta és [[incrustat]] a '''R'''<sup>3</sup> i dotat amb el [[métric Riemannian]] donat per la primera forma fonamental. Suposar que la imatge de la incrustació és una superfície ''S'' en '''R'''<sup>3</sup>. Una isometria local és un [[difeomorfisme]] ''f'': ''U'' → ''V ''entre regions obertes de '''R'''<sup>3</sup> la qual restricció a ''S'' ∩ ''U'' és una [[isometria]] a la seva imatge. '''Theorema Egregium''' es llavors declarat de la manera següent:
: La curvatura Gaussianagaussiana d'una superfície llisa incrustada en '''R'''<sup>3</sup> és invariable sota les isometries locals.
Per exemple, la curvatura Gaussianagaussiana d'un tub [[cilíndric]] és zero, el mateix que pel "tub" desenrotllat (quin és pla). D'altra banda, des d'una [[esfera]] de radis ''R'' té curvatura positiva constant ''R''<sup>−2</sup> i un pla gras té curvatura constant 0, aquestes dues superfícies no són isomètriques, fins i tot localment. Per això qualsevol representació planar de fins i tot una part d'una esfera ha de distorsionar les distàncies. Per tant, cap [[projecció cartogràfica]] és perfecta.
=== Teorema de Barret-Gauss ===
== Superfícies de curvatura constant ==
* '''Teorema de [[Ferdinand Minding|Minding]]''' (1839) declara que totes les superfícies amb la mateixa curvatura constant K són localment [[isomètriques]]. Una conseqüència d'el teorema de Minding és que qualsevol superfície de la qual curvatura és idènticament zero pot ser construïda per doblegar alguna regió plana. Tals superfícies són anomenades [[superfícies desenvolupades]]. Minding també va aixecar la qüestió si una [[superfície tancada]] amb curvatura positiva constant és necessàriament rígida.
* '''Teorema de Liebmann''' (1900) va contestar la pregunta de Minding. L'únic regular (de classe ''C''<sup>2</sup>) superfícies properes en '''R'''<sup>3</sup> amb curvatura Gaussianagaussiana positiva constant són les esferes.<ref>{{Cite book|last=Kühnel|first=Wolfgang|title=Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds|publisher=American Mathematical Society|year=2006|isbn=0-8218-3988-8}}</ref> Si una esfera és deformada no es queda una esfera, provant que una esfera és rígida. Uns prova estàndard utilitza el [[lema de Hilbert]] que els punts de curvatura principal extrema tenen curvatura Gaussianagaussiana no positiva.<ref>{{Citation|title=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica|first=Mary|last=Gray|edition=2nd|publisher=CRC Press|year=1997|isbn=9780849371646|contribution=28.4 Hilbert's Lemma and Liebmann's Theorem|pages=652–654|url=https://books.google.com/books?id=-LRumtTimYgC&pg=PA652}}</ref>
* '''El teorema d'Hilbert''' (1901) declara que existeix cap analític complete (classe ''C''<sup>''ω''</sup>) superfície regular en '''R'''<sup>3</sup> de curvatura Gaussianagaussiana negativa constant. De fet, la conclusió també sosté per superfícies de classe ''C''<sup>2</sup> immerses en '''R'''<sup>3</sup>, però és trenca per ''C''<sup>1</sup>-superfícies. La [[pseudoesfera]] té curvatura Gaussianagaussiana negativa constant excepte a la seva cúspide singular.<ref>[http://eom.springer.de/h/h047410.htm ''Hilbert theorem''.]</ref>
== Fórmules alternatives ==
* Curvatura Guassiana d'una superfície en '''R'''<sup>3</sup> pot ser expressada com la proporció dels [[Determinant (matemàtiques)|determinants]] de la segon i primer forma fundamental:
:: <math>K = \frac{\det\mathrm{I\!I}}{\det\mathrm I} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}.</math>
* La '''fórmula Brioschi''' dónadona curvatura Gaussianagaussiana només en termes de la primera forma fonamental:
:: <math> K =\frac{\det \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}- \det \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}}{(EG-F^2)^2} </math>
* Per una '''parametrització''' '''[[Coordenades ortogonals|ortogonal]]''' (i.e., ''F'' = 0), la curvatura Gaussianagaussiana és:
:: <math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right).</math>
* Per una superfície descrita com gràfic d'una funció ''z'' ='' F''(''x'', ''y''), la curvatura Gaussianagaussiana és:
:: <math>K = \frac{F_{xx}\cdot F_{yy}- F_{xy}^2}{(1+F_x^2+ F_y^2)^2}</math>
* Per una superfície ''F(x,y,z)'' = 0, la curvatura Gaussianagaussiana pot ser expressada en termes del gradient <math>\nabla F</math> i [[Matriu hessiana|matriu Hessian]] <math>H(F)</math>:<ref>{{Cite journal|doi=10.1016/j.cagd.2005.06.005|title=Curvature formulas for implicit curves and surfaces|journal=Computer Aided Geometric Design|volume=22|issue=7|pages=632|year=2005|last1=Goldman|first1=R.|id={{citeseerx|10.1.1.413.3008}}}}</ref><ref>{{Cite book|last=Spivak|first=M|year=1975|title=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry|volume=3|publisher=Publish or Perish, Boston}}</ref>
:: <math>
K=-\frac{
| 