Llei del paral·lelogram: diferència entre les revisions

#QQ17
(#QQ17)
[[Fitxer: Color parallelogram.svg|dreta|thumb|Un [[paral]]·lelogram. Els costats d'aquest estanes mostratsmostren en color blau i les diagonals en vermell.]]
En [[matemàtiques]], la forma més simple de la ''' llei del paral·lelogram '''és pertanyuna allei lade [[geometria]] elemental. Aquestaque postula que la suma dels quadrats de les longituds dels quatre costats d'un [[paral·lelogram]] és igual a la suma dels quadrats de les longituds de les dues [[diagonal]]s d'aquest. Utilitzant la notació del paral·lelogram mostrat en la figura de la dreta, es pot escriure matemàticament com:
 
: <math>(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2.\,</math>
 
En el cas que el paral·lelogram sigui un [[rectangle]], les dues diagonals són iguals i la llei es dedueixredueix al [[teorema de Pitàgores]]. Però en general, no es compleix que el quadrat d'una diagonal sigui igual a la suma dels quadrats de dos costats.
 
== Llei del paral·lelogram per a espais amb producte intern ==
és el [[producte escalar]] normat.
 
== Espais vectorials normats que satisfan la llei del paral·lelogram ==
 
La majoria d'[[Espai vectorial normat|espais vectorials normats]] [[nombre real|reals]] i [[nombre complex|complexos]] no tenen [[producte intern]], però tots els espais vectorials normats tenen norma (per definició), i per tant es poden avaluar les expressions a banda i banda delde l'"=" de la identitat anterior. Un fet notable és que si la identitat anterior es manté, aleshores la norma ha de sorgir de la manera habitual d'algun producte intern. A més, el producte intern que es genera mitjançant la norma és únic, com a conseqüència de la [[identitat de polarització]], en el cas real, aquest ve donat per
 
:<math>\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4},\,</math>
 
o, equivalentmentde manera equivalent, per
 
:<math>{\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\over 2} \ \ \rm{\acute{o}} \ \ {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\over 2}.\,</math>
== Enllaços externs ==
* [http://www.unlvkappasigma.com/parallelogram_law/The Parallelogram Law Proven Simply] a [http://www.unlvkappasigma.com/UNLV Kappa Sigma]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParallelogramIdentity.shtml The Parallelogram Law: A Proof Without Words] En A'' cut-the-Knot ''
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=ProofOfParallelogramLaw2 Proof of Parallelogram Law] a [http://planetmath.org/Planet Math]
* {{MathWorld|urlname = ParallelogramLaw|title = Parallelogram Law}}<!--ORDENA generat per bot-->
 
{{MT|data=febrer de 2013}}
<!--ORDENA generat per bot-->
 
{{ORDENA:Llei Del Parallelogram}}