Diferència entre revisions de la pàgina «Binomi de Newton»

#QQ17 correcció
(Robot passa data de manteniment de mesos a anys)
(#QQ17 correcció)
El '''[[Binomi]] de [[Isaac Newton|Newton]]''' <ref>{{Ref-llibre |cognom=Rade, |nom=Lennart; |cognom2=Westergren, Bertil|nomnom2=Bertil |títol=Mathematics Handbook for Science and Engineering |url=http://www.springer.com/gp/book/9783540211419 |edició= |llengua=|data=|editorial=Springer |lloc= |pàgines= |isbn=ISBN 978-3-662-08549-3}}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom=Bronshtein, I.; Semendiaev, K.|nom=|títol=Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes |url= |edició= |llengua=Castellà |data=1977 |editorial=MIR |lloc=MoscúMoscou |pàgines= |isbn=}}</ref> o '''teorema del binomi''' és una fórmula que serveix per a calcular la potència <math>n</math> d'un '''binomi''' <math>(a+b)
{{FR|data=2014}}
</math>. És per tant una generalització de les fórmules elementals <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> i <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>. Aquestes dues formen part del que s'anomenen [[Identitat notable|Identitats notables]], i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes. El cas general, que és l'anomenat Binomi de Newton o fórmula del binomi, utilitza nombres [[combinatòria|combinatoris]], i diu:
{{MF|data=2014}}
 
== Història ==
El '''[[Binomi]] de [[Isaac Newton|Newton]]''' <ref>{{Ref-llibre|cognom=Rade, Lennart; Westergren, Bertil|nom=|títol=Mathematics Handbook for Science and Engineering|url=http://www.springer.com/gp/book/9783540211419|edició=|llengua=|data=|editorial=Springer|lloc=|pàgines=|isbn=ISBN 978-3-662-08549-3}}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom=Bronshtein, I.; Semendiaev, K.|nom=|títol=Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes|url=|edició=|llengua=Castellà|data=1977|editorial=MIR|lloc=Moscú|pàgines=|isbn=}}</ref> o '''teorema del binomi''' és una fórmula que serveix per a calcular la potència <math>n</math> d'un '''binomi''' <math>(a+b)
La primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Suzuki |nom=Jeff |títol=Mathematics in Historical Context |url= |edició= |llengua=anglès |data= |editorial=The Mathematical Association of America |lloc=|pàgines=226 |isbn=978-0-88385-570-6}}</ref> Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Suzuki |nom=Jeff |títol=Mathematics in Historical Context |url= |edició= |llengua=anglès |data= |editorial=The Mathematical Association of America |lloc=|pàgines=233 |isbn=978-0-88385-570-6}}</ref>
</math>. És per tant una generalització de les fórmules elementals <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> i <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>. Aquestes dues formen part del que s'anomenen [[Identitat notable|Identitats notables]], i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes. El cas general, que és l'anomenat Binomi de Newton o fórmula del binomi, utilitza nombres [[combinatòria|combinatoris]], i diu:
 
== Cas general ==
El cas general, que és l'anomenat Binomi de Newton o fórmula del binomi, utilitza nombres [[combinatòria|combinatoris]], i diu:
 
<math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}, \quad\quad\quad\quad\quad (1)</math>
 
El terme <math>{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math> quan <math>a=1-p</math> i <math>b=p</math> és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament <math>k</math> en una seqüència de <math>n</math> assaigs independents amb una probabilitat fixa <math>p</math> d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom de [[distribució binomial]].
 
== Història ==
Segons,<ref>{{Ref-llibre|cognom=Suzuki|nom=Jeff|títol=Mathematics in Historical Context|url=|edició=|llengua=anglès|data=|editorial=The Mathematical Association of America|lloc=|pàgines=|isbn=978-0-88385-570-6}}</ref> p. 226, la primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676. A la mateixa referència, p. 233, es diu que Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.
 
Més referències històriques a l'escrit Potència d'un Binomi, de R. Nolla, esmentat als Enllaços externs.
 
== Comentaris ==
És famós el vers del poeta portuguès [[Fernado Pessoa]]: ''O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo./ O que há é pouca gente para dar por isso.'' <ref>{{Ref-web|url=http://arquivopessoa.net/textos/224|títol="Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo".|consulta=24/11/2017|llengua=Portuguès|editor=arquivopessoa.net|data=}}</ref> (El binomi de Newton és tan bell com la Venus de Milo./ El que passa és que poques persones ho noten.)
 
== Referències ==
{{Referències}}
 
== Vegeu també ==
[http://www.xtec.cat/~rnolla/apunts/BinomiNewton_ccss.pdf Potència d'un binomi, per R. Nolla]
 
== Referències ==
{{Referències}}
{{Autoritat}}
 
{{ORDENA:Binomi De Newton}} <!--ORDENA generat per bot-->
 
[[Categoria:Polinomis]]
104.889

modificacions