Trisecció de l'angle: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
#QQ17 |
#QQ17 |
||
Línia 1:
{{MF|data=2014}}
{{FR|data=2014}}
[[Fitxer:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|200px|Alguns [[angle]]s.]]
[[Fitxer:Lineale.jpg|thumb|right|200px|[[Regle]]s. Els regles mostrats estan marcats — un [[regle]] ideal està sense marcar.]]
[[Fitxer:
El problema de '''trisecar l'angle''' és un problema clàssic de [[construcció amb regle i compàs]] dels antics [[antiga Grècia|matemàtics grecs]]. Donat un angle, el problema consisteix a construir un altre [[angle]] que sigui una tercera part del primer, emprant només un [[regle]] no marcat i un [[Compàs (geometria)|compàs]]. Amb aquestes eines es demostra que el problema és [[Proof of impossibility|irresoluble]]. Això requereix dibuixar l'[[arrel cúbica]] d'un nombre donat, construcció impossible amb les eines donades.
Linha 25 ⟶ 22:
== Els angles no poden ser trisecats en general ==
Sigui <math>\mathbb{Q}</math> el conjunt dels [[nombre racional|nombres racionals]].
Es diu que un nombre és [[nombre construïble|construïble]] "en un pas" a partir d'un [[cos (matemàtiques)|cos]] <math>K</math> si és una solució d'una [[equació de segon grau]]. Fixeu-vos que <math>\pi/3</math> [[radian]]s (60 [[grau sexagesimal|graus]], escrit 60°) és [[triangle equilàter|construïble]].
Linha 41 ⟶ 37:
== Alguns angles poden ser trisecats ==
Maltrat tot el que s'ha vist, alguns angles es poden trisecar. Donat un angle <math>\theta</math>, l'angle <math>3\theta</math> trisecciona el <math>\theta</math>. Encara més, <math>2\pi/5</math> [[radian]]s (72°) és constructible i, pot ser trisectat.<ref>{{Ref-publicació|article=Prove that it is possible to trisect 72 degrees|publicació=Physics Forums - The Fusion of Science and Community|llengua=en-US|url=http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=160571}}</ref> També hi ha angles que, malgrat no siguin constructibles, es poden trisecar, per exemple <math>3\pi/7</math>.
===
Es denoten els [[nombres racionals]] com <math>\mathbb{Q}</math>:
Linha 51 ⟶ 47:
== Mitjans per trisecar angles fora de la geometria grega ==
▲=== {{subratllat|Origami}} ===
La trisecció, com moltes altres construccions impossibles amb regle i compàs, es pot fer amb operacions més potents (però físicament fàcils) com fer plecs de paper o [[origami]]. Els [[axiomes de Huzita]] (tipus d'operacions amb plecs de paper) poden construir extensions cúbiques (arrels cúbiques) de determinades longituds, mentre que les [[construcció amb regle i compàs|construccions amb regle i compàs]] només poden construir extensions quadràtiques (arrels quadrades).
===
Les [[trisectriu]]s són unes corbes que, si es poden dibuixar en el pla utilitzant altres mètodes, llavors es poden utilitzar que trisecar qualsevol angle.<ref>[http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves Trisection of an Angle ]</ref>
===
Uns altres mitjans per trisecar un angle qualsevol mitjançant una "petita" variació de les construccions gregues és via un regle amb dues marques separades una distància. La següent construcció és d'[[Archimedes]], i s'anomena una ''[[construcció de Neusis]]'', i.e., usa d'altres eines a part d'un regle sense marcar.
[[Fitxer:Three facts for trisecting angles.svg|right|thumb|Tres fets per trisectar angles.]]Això requereix tres fets de geometria (a la dreta):
# Qualsevol conjunt d'angles d'una línia recta sumen 180°.
Linha 69 ⟶ 64:
{{clear}}
[[Fitxer:Trisecting angles two.svg|right|500px|Angle ''a'' per trisecar.]]
Mireu al diagrama de la dreta, denotem ''a'' l'angle que hi ha a l'esquerra del punt ''B''. Es trisecciona l'angle ''a''.
Linha 80 ⟶ 75:
Ara: Triangles ''ABC'' i ''BCD'' són [[triangle isòsceles|isòsceles]], per tant, cadascun té dos angles iguals. Si redibuixem el diagrama, i etiquetem tots els angles:
[[Fitxer:Trisecting angles three.svg|left|500px|Un altre cop, angle trisecat ''a'' amb un regle marcat.]]
{{clear}}
[[Hipòtesis]]: Donada la línia recta ''AD'', i ''AB'', ''BC'', i ''CD'' són totes de la mateixa longitud,
Linha 104 ⟶ 99:
Hutcheson va construir un cilindre a partir d'angle que s'havia de trisecar. Va dibuixar un arc a través de l'angle, completant-lo com un cercle, i construint a partir d'aquest cercle un cilindre en el que hi havia inscrit un triangle equilàter (s'havia dividit en tres angle de 360 graus). Això després es traspassava ("mapped") a l'angle que s'havia de trisecar, amb una simple prova de triangles semblants.
Per veure la demostració detallada i la seva generalització, vegeu l'article: Mathematics Teacher, vol. 94, No. 5, May, 2001, pp. 400-405.
== Notes ==▼
{{notes}}
{{referències}}
== Vegeu també ==
* [[Polígon construïble]]
* [[Teoria de Galois]]
▲== Notes ==
▲{{Referències}}
== Enllaços externs ==
Linha 128 ⟶ 126:
* [http://www.song-of-songs.net/Star-of-David-Flower-of-Life.html Hyperbolic trisection and the spectrum of regular polygons]
▲{{ORDENA:Triseccio De L'Angle}} <!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Geometria]]
| |||