Diferència entre revisions de la pàgina «Binomi de Newton»

Canvis d'ordre, crec que ara queda més endreçat.
(#QQ17 correcció)
(Canvis d'ordre, crec que ara queda més endreçat.)
</math>. És per tant una generalització de les fórmules elementals <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> i <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>. Aquestes dues formen part del que s'anomenen [[Identitat notable|Identitats notables]], i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes.
 
ElLa casfórmula general, que és l'anomenat Binomi de Newton o fórmula del binomi, utilitza nombres [[combinatòria|combinatoris]], i diu:
== Història ==
La primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Suzuki |nom=Jeff |títol=Mathematics in Historical Context |url= |edició= |llengua=anglès |data= |editorial=The Mathematical Association of America |lloc=|pàgines=226 |isbn=978-0-88385-570-6}}</ref> Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Suzuki |nom=Jeff |títol=Mathematics in Historical Context |url= |edició= |llengua=anglès |data= |editorial=The Mathematical Association of America |lloc=|pàgines=233 |isbn=978-0-88385-570-6}}</ref>
 
== Cas general ==
El cas general, que és l'anomenat Binomi de Newton o fórmula del binomi, utilitza nombres [[combinatòria|combinatoris]], i diu:
 
<math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}, \quad\quad\quad\quad\quad (1)</math>
 
on el [[coeficient binomial]] <math> {n \choose k}</math> és el nombre combinatori definit com <math> {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>, i que es llegeix "<math>n</math> ''sobre'' <math>k</math>". El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb <math>n</math> creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenat [[Triangle de Tartaglia]], Triangle de Pascal o Triangle aritmètic.
 
Exemples:
 
<math>{(a-b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math>.
 
La fórmula és molt anterior a Newton. La seva història pot trobar-se a l'article ''Potència d'un Binomi'' de R. Nolla esmentat més avall com a Enllaç extern.
 
== Demostració ==
 
El terme <math>{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math> quan <math>a=1-p</math> i <math>b=p</math> és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament <math>k</math> en una seqüència de <math>n</math> assaigs independents amb una probabilitat fixa <math>p</math> d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom de [[distribució binomial]].
 
La primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Suzuki |nom=Jeff |títol=Mathematics in Historical Context |url= |edició= |llengua=anglès |data= |editorial=The Mathematical Association of America |lloc=|pàgines=226 |isbn=978-0-88385-570-6}}</ref> Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Suzuki |nom=Jeff |títol=Mathematics in Historical Context |url= |edició= |llengua=anglès |data= |editorial=The Mathematical Association of America |lloc=|pàgines=233 |isbn=978-0-88385-570-6}}</ref>
 
== Comentaris ==
134

modificacions