Usuari:Brill/proves/Equació general còniques: diferència entre les revisions

Etiqueta: editor de codi 2017
Etiqueta: editor de codi 2017
</math>
</center>
La quantitat <math>\Delta = A C - B^2 </math> es diu el '''discriminant''' de la cònica i el seu signe en determina el caràcter. De moment, <math>\Delta = A C - B^2 \neq 0 </math> el sistema és compatible i determinat, cosa que implica que la cònica té centre i és, o bé una el·lipse, o bé una hipèrbola. Si posem
<math>
A \alpha^2 + 2 B \alpha \beta + C \beta^2 - 2 D \alpha - 2 E \beta + F = F'
</math>
l'equació quedarà així:
<center>
<math>
A x'^2 + 2 B x' y' + C y'^2 + F' = 0
</math>
</center>
 
Si <math>\Delta = A C - B^2 = 0 </math> i el sistema és incompatible, la cònica no té centre.
 
Si <math>\Delta = A C - B^2 = 0 </math>, algun dels coeficients <math> A </math> o <math> C </math> no és zero (si ho fossin tots dos, també ho seria <math> B </math> i l'equació es reduiria a <math> 2 D x + 2 E y + F = 0 </math>, és a dir, a la d'una recta) i el sistema no és incompatible, sinó indeterminat, ha de ser
</math>
</center>
Per a <math> A \neq 0 </math>, <math> C = \dfrac{B^2}{A} <math> i l'equació queda
 
 
 
Si <math>\Delta = A C - B^2 = 0 </math>, l'anulació d'algun dels valors obliga a que, almenys, un dels altres dos també sigui zero. Tenim:
<center>
<math>
A x'^2 + 2 B x' y' + \dfrac{B^2}{A} y'^2 + F' = 0
\begin{array}{rl}
A = B = C = 0 & \mbox{l'equació és } 2 D x + 2 E y + F = 0, \mbox{ és a dir, una recta} \\
A = B = 0, C \neq 0 & \mbox{ i l'equació és } C y^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 \\
B = C = 0, A \neq 0 & \mbox{ i l'equació és } A x^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
\end{array}
</math>
</center>
o sigui
 
<center>
 
<math>
 
0 = A^2 x'^2 + 2 A B x' y' + B^2 y'^2 + A F' = \left(A x' + B y'\right)^2 + A F'
ha ha diverses possibilitats:
</math>
</center>
i, aleshores, si <math> A F' \leq 0 </math> tenim la recta <math> A x' + B y' - \sqrt{- A F'} = 0 </math> i, si <math> A F' > 0 </math> no hi ha cònica ''real''.
667

modificacions