Nombre enter: diferència entre les revisions

{{nombres}}Els '''nombres enters''' són els que designen quantitats no [[Fracció|fraccionables]] en parts més petites que la unitat.<ref>{{GEC|0234541|nombre enter}}</ref> Per exemple –3−3, 80, –4−4 o 2017 són enters, mentre que <math>\tfrac 34</math>, –1−1,5, 3,14 , <math>5\tfrac 12</math> o <math>\sqrt 2</math> no ho són.

El conjunt dels nombres enters es representa amb el símbol <s><math>\mathbb{Z}</math></s>, la lletra inicial de la paraula alemanya ''Zahlen'' (nombre).

El conjunt dels nombres enters <s href="teoria de nombres"><math>\mathbb{Z}</math></s>, està format per:

*[[Nombre natural|Els nombres naturals]] <math>\mathbb{N}</math> anomenats també enters positius: <math>\{+1, +2, +3, +4, +5, ... \ldots\}</math>. S'escriuen tant amb el signe ''més'' (+) al davant com sense. Si un nombre no porta el signe +, se sobreentén que és positiu.

*Nombres enters negatius: −1<math>\{-1, −2-2, −3-3, −4-4, −5-5, ...\ldots\}</math> S'escriuen sempre amb el signe ''menys'' -(−) al davant, Aquest signe menys forma part de la designació del nombre, no indica l'operació resta.

Un cop definida la resta es pot definir una relació d'ordre en el conjunt dels nombres entres. Un nombre ''a'' és més gran o igual que un nombre ''b'' si ''a'' − ''b'' és un nombre natural (un enter no negatiu).

:\left [ (''a'', ''b'') \right ] + [(''c'', ''d'')] :&= [(''ac''a+''bd''c, ''ad''b+''bc''d)]. \\

Aquesta notació cobreix la representació dels enters com <math>\{…\ldots, −3-3, −2-2, −1-1, 0, 1, 2, 3, …\ldots\}</math>.

Igual que els nombres naturals, el conjunt dels enters ℤ és [[tancat (matemàtiques)|tancat]] per les [[operació (matemàtiques) |operacions]] de [[suma]] i [[multiplicació]], és a dir, la suma i el producte de dos enters qualssevol és un altre enter. Però, en incloure els nombres negatius i el [[zero]], ℤ (a diferència del que passa amb els nombres naturals) també és tancat respecte de la [[resta]]. ℤ<math>\mathbb{Z}</math> no és tancat respecte de l'operació de [[divisió]], ja que el quocient de dos enters (per exemple 1 dividit entre 2), pot no ser un nombre enter. Així com els nombres naturals són tancats respecte de l'[[exponenciació]], els enters no ho són (perquè quan l'exponent és negatiu el resultat pot ser una fracció).

| ![[Clausura (matemàtiques)|clausuraClausura]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;''b'' és un enter || ''a''&nbsp;⋅&nbsp;''b'' és un enter

|! Manca de [[divisor de zero|divisors de zero]]: || || si {{nowrap|1=''a'' ⋅ ''b'' = 0}}, llavors, o bé ''a''&nbsp;=&nbsp;0 o bé ''b''&nbsp;=&nbsp;0 (o tots dos)

|! propietatPropietat o [[bon ordre|axioma de la bona ordenació]]: |
|Sigui ''S'' un subconjunt no buit de ℤ, acotat inferiorment, llavors ''S'' té primer element. Aquest axioma indica que el conjunt ''S'' té un [[ínfim]] i un [[suprem]], la qual cosa vol dir que el conjunt de cotes superiors de ''S'' té un [[element menor]] de les cotes superiors anomenat [[suprem]] que alhora és major que tots els elements del conjunt ''S''.

En el llenguatge de l'[[àlgebra abstracta]], la primeres cinc propietats de més amunt referides a l'addició confereixen al conjunt ℤ<math>\mathbb{Z}</math> amb la suma l'estructura d'un [[grup abelià]]. De fet, ℤ<math>\mathbb{Z}</math> és un [[grup cíclic]], perquè qualsevol enter no nul es pot escriure sumant un determinat nombre de vegades 1 + 1 + ... + 1 o bé (−1) + (−1) + ...… + (−1). El grup ℤ és l{{'}}''únic'' grup cíclic [[infinit]], en el sentit que qualsevol altre grup cíclic infinit és [[isomorfisme|isomorf]] a ℤ<math>\mathbb{Z}</math>.

Les primeres quatre propietats de damunt respecte de la multiplicació diuen que ℤ amb l'operació [[producte (matemàtiques)|producte]] forma un [[monoide]] commutatiu. No obstant, no tots els enters tenen un invers respecte de la multiplicació. Per exemple, no existeix cap enter ''<math>x''</math> tal que 2''x''<math>2x = 1</math>. Per tant ℤ<math>\mathbb{Z}</math> no és un grup si es considera amb l'operació producte.

Totes les propietats de la taula preses conjuntament diuen que ℤ amb l'addició i la multiplicació és un [[anell (matemàtiques)]] commutatiu amb element unitat. En efecte ℤ<math>\mathbb{Z}</math> és el motiu principal per definir tal estructura. La manca d'invers respecte de la multiplicació es tradueix en el fet que ℤ<math>\mathbb{Z}</math> no és un [[cos (matemàtiques)|cos]].

L'anell ℤ és a més un [[anell íntegre]], perquè no conté [[divisor de zero|divisors de zero]]. Tot anell íntegre està contingut en un cos, el cos més petit que conté els enters és el cos ℚ<math>\mathbb{Q}</math> dels [[nombre racional|nombres racionals]], que és el seu [[cos de fraccions]].

Encara que la divisió ordinària no estigui definida en ℤ<math>\mathbb{Z}</math>, es pot fer servir l'[[algorisme d'Euclides]] per efectuar una [[divisió entera|divisió amb residu]]: donats dos enters ''a'' i ''b'' amb ''<math>b''&nbsp;≠&nbsp;0\neq0 </math>, existeixen i són únics dos enters ''q'' i ''r'' tals que

:<math> a = q \cdot b + r \ \text{ amb }\ 0 \leq r < |b|, </math> ,

L'algorisme d'Euclides mostra com dos nombres enters tenen sempre un [[màxim comú divisor]] i un [[mínim comú múltiple]]. A més pel [[teorema fonamental de l'aritmètica]] tot nombre enter té una única descomposició com producte de [[nombre primer|nombres primers]]. L'existència de l'algorisme d'Euclides fa de ℤ<math>\mathbb{Z}</math> un [[anell euclidià]]. El teorema fonamental de l'aritmètica fa de ℤ<math>\mathbb{Z}</math> un [[anell factorial]]. A més a més, ℤ<math>\mathbb{Z}</math> també és un [[anell principal]] (com a conseqüència d'ésser euclidià, per exemple).

ℤ<math>\mathbb{Z}</math> és un conjunt [[ordre total|totalment ordenat]] sense fita superior ni inferior. L'ordre de ℤ<math>\mathbb{Z}</math> ve donat per:

: ...<math>\cdots < −3-3 < −2-2 < −1-1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...\cdots</math>

# si ''<math>a'' < ''b''</math> i ''<math>c'' < ''d''</math>, llavors ''<math>a'' + ''c'' < ''b'' + ''d''</math>

# si ''<math>a'' < ''b''</math> i <math>0 < ''c''</math>, llavors ''<math>ac'' < ''bc''</math>.

A partir del segon punt es pot demostrar que si ''<math>c'' < 0</math>, llavors ''<math>ac'' > ''bc''</math>.

La [[cardinalitat]] del conjunt d'enters és igual a <math>\aleph_0</math> ([[àlef zero]]), o el que és el mateix, ℤ<math>\mathbb{Z}</math> és un [[conjunt numerable]]. Això es demostra immediatament construint una [[bijecció]], és a dir, una funció que és [[funció injectiva|injectiva]] i [[funció exhaustiva|exhaustiva]] de ℤ<math>\mathbb{Z} = \{...\ldots, −2-2, −1-1, 0, 1, 2, ...\ldots\}</math> a ℕ<math>\mathbb{N}</math>.

Si s'agafa com a ℕ<math>\mathbb{N} = \{0,1,2,...3,\ldots\}</math>, llavors es construeix la funció:

:<math>g\{\ldots, (x-4,8), =(-3,6), \begin{cases}(-2,4), (-1,2|x| & \text{si } x <), (0,1), \\ 2x+(1,3), &(2,5), \text{si } x(3,7), \geq 0. ldots\end{cases} </math>

Si el [[domini (matemàtiques)|domini]] es restringeix a ℤ<math>\mathbb{Z}</math> llavors a tots i cadascun dels membres de ℤ<math>\mathbb{Z}</math> es corresponen amb un i només un membre de ℕ<math>\mathbb{N}</math> i per la definició d'igualtat cardinal els dos conjunts tenen igual cardinalitat.

Donat ''b'' un nombre natural més gran que 1, volem escriure un enter ''n'' en la base ''b'' consisteix en expressar ''n'' com a suma de potències de ''b'' afegint un signe, és a dir, determinar els coeficients ''a''_''k'' tals que {{nowrap|<math>0 < ''a''_''k''a_k < ''b'' −- 1}}</math> i:

*Excés a <math>\mathbb{Z}</math>

Un enter (a vegades conegut com a <tt>int</tt>, procedent del nom d'un tipus de dades en el [[llenguatge de programació C]], ''integer'') sovint és un tipus de dada primitiva en llenguatges de programació. Tanmateix, els tipus de dades d'enter només poden representar un subconjunt finit de tots els enters, ja que els ordinadors pràctics són de capacitat finita. També, en la representació habitual de [[complement a dos]], la definició inherent de signe distingeix entre "''negatius"'' i "no-negatius"''no–negatius'' en comptes de "''negatius, positius, i 0"''.