Diferència entre revisions de la pàgina «Nombre natural»

143 octets eliminats ,  fa 1 any
m
cap resum d'edició
Etiquetes: des de mòbil via web per a mòbils
m
{{nombres}}
Un '''nombre natural''' és qualsevol dels [[nombre]]s 0, 1, 2, 3...3…, 19, 20, 21, 2222…, ..., 1059...1059…, un [[milió]] ..., que es poden usar per a comptar els elements d'un [[conjunt]] finit. Per exemple: 24 pomes, 2 camions o 1123 peixos, són situacions on es compta amb nombres naturals. El conjunt de tots els nombres naturals se simbolitza per la lletra <math>\mathbb{N}</math> o '''N'''.
 
En alguns àmbits matemàtics (especialment en [[teoria de nombres]]) és convenient no considerar el [[zero]] com un nombre natural.,<ref>{{ref-web|url=http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html|títol=Natural Number|cognom=Weisstein|nom=Eric W.|consulta=27 novembre 2013|llengua=anglès|obra=MathWorld|editor=Wolfram Research, Inc.}}</ref> mentre que uns altres, especialment en [[teoria de conjunts]], [[lògica]] i [[informàtica]], predomina la postura oposada. En aquest article, el zero és considerat un nombre natural.
 
Segons [[Kronecker]], matemàtic alemany (1823-18911823–1891):
 
{{cita|''Die ganze Zahl schuf der liebe Gott, alles Übrige ist Menschenwerk''.
{{cita|''Die ganze Zahl schuf der liebe Gott, alles Übrige ist Menschenwerk''. "Déu va crear els nombres enters,; tota la resta és obra de l'home."|Cajori|History of Mathematics (London 1919)}}En tot cas, segur que Kronecker es referiria als naturals si a la seva època la nomenclatura fos l'actual. Així, ara hauria dit: "Déu va crear els nombres naturals,; tota la resta és obra de l'home".|Cajori|History of Mathematics (London 1919)}}
 
== Història ==
Els matemàtics fan servir '''N''' o <math>\mathbb{N}</math> (una N en doble ratlla, que es presenta com {{unicode|ℕ}} en Unicode) per a referir-se al [[conjunt]] de tots els nombres naturals. Aquest conjunt és infinit numerable: és [[conjunt infinit|infinit]] però [[numerable]] per definició. Això també s'expressa dient que el [[nombre cardinal|cardinal]] del conjunt és [[Aleph-zero]] (<math>\aleph_0</math>).
 
Per a denotar el conjunt dels naturals sense el zero, és habitual usar un asterisc com a superíndex de la '''<math>\mathbb{N}</math>''':
:<math>\mathbb{N}</math><sup>^*</sup> = \{ 1, 2, ...\ldots \}</math>.
 
Quan es considera que 0 no és un nombre natural, a vegades s'utilitza una notació amb un subíndex 0 per a representar el conjunt dels naturals amb el 0:
:<math>\mathbb{N}</math><sub>0</sub>_0 = \{ 0, 1, 2, ...\ldots \}</math>.
 
Segons la norma DIN&nbsp;5473 s'hauria de fer servir <math>\N</math> per a tots els naturals (amb el zero) i <math>\N^*</math> per als estrictament positius (és a dir, sense el zero).
Pel que fa a la notació dels nombres naturals (els elements que conté el conjunt) la seva notació depèn del sistema de numeració emprat.
 
Els sistemes de numeració<ref> [http://www.abstractmath.org/MM/MMNaturalNumbers.htm Natural numbers] </ref> més a bastament emprats són els sistemes de numeració posicionals.
més a bastament emprats són els sistemes de numeració posicionals.
 
De forma que un nombre natural s'expressa amb un conjunt de xifres diferents (tantes com en la base) i el valor de cada xifra depèn de la seva posició en l'escriptura del nombre.
Més en concret el procés és el següent:
 
:S'estableix <math>0:= \{\}</math>, el [[conjunt buit]], i es defineix ''<math>S''(''a'') = ''a'' \cup \{''a''\}</math> per a cada conjunt ''a''. ''S''(''a'') és el successor de ''a'', i ''S'' es diu la funció successor.
:S'estableix 0 := {&nbsp;}, el [[conjunt buit]],
:i es defineix ''S''(''a'') = ''a'' ∪ {''a''} per a cada conjunt ''a''. ''S''(''a'') és el successor de ''a'', i ''S'' es diu la funció successor.
:Si s'accepta l'[[axioma de l'infinit]], llavors el conjunt de tots els nombres naturals existeix i és la intersecció de tots els conjunts que contenen el 0, els quals són tancats sota la funció successor.
:Si el conjunt de tots els nombres naturals existeix, llavors satisfà els [[axiomes de Peano]].
:Llavors cada nombre natural és igual al conjunt dels nombres naturals més petits que ell;. perPer tant:
 
:<math>\begin{align}
:* 0 = {&nbsp;}
0 &= \{\;\} \\
:* 1 = <nowiki>{0} = {{&nbsp;}}</nowiki>
:* 2 = <nowiki>{0,1} &= \{0, {0}\} = \{\{&nbsp\;\}\}, {{&nbsp;}}}</nowiki>\\
:* 32 &= <nowiki>\{0,1,2\} = \{0, \{0\}, {0, {0}}\} = \{\{&nbsp\;\}, \{\{&nbsp\;\}\}, {{&nbsp;\}, {{&nbsp;}}}}</nowiki>\\
3 &= \{0,1,2\} = \{0, \{0\}, \{0, \{0\}\}\} = \{\{\;\}, \{\{\;\}\}, \{\{\;\}, \{\{\;\}\}\}\} \\
:* ''n'' = {0,1,2,...,''n''−2,''n''−1} = {0,1,2,...,''n''−2} ∪ {''n''−1} = (''n''−1) ∪ {''n''−1}
n &= \{0,1,2,\ldots,n-2,n-1\} = \{0,1,2,\ldots,n-2\} \cup \{n-1\} = (n-1) \cup \{n-1\} \\
\end{align}</math>
 
:i així. Quan es fa servir un nombre natural com un conjunt, això és el que normalment es vol dir. Sota aquesta definició, hi ha exactament ''n'' elements (en el sentit intuïtiu) en el conjunt ''n'' i ''n'' ≤ ''m'' (en el sentit intuïtiu) [[si i només si]] ''n'' és un [[subconjunt]] de ''m''.
 
:Amb aquesta definició, també coincideixen diferents interpretacions possibles de notacions com '''R'''<supmath>''\mathbb{R}^n''</supmath> (''n-''tuples versus aplicacions de ''n'' en '''<math>\mathbb{R'''}</math>).
 
:Fins i tot si no s'accepta l'axioma de l'infinit i el conjunt de tots els nombres naturals no existeix, es pot definir què vol dir ser un d'aquests conjunts. Un conjunt ''n'' és un nombre natural vol dir que, o bé és 0 (buit) o un successor, i cada un els seus elements és o bé 0 o bé el successor d'un altre dels seus elements.
La definició de suma s'ha d'establir de forma que coincideixi amb el resultat que intuïtivament s'espera de la suma com el nombre d'elements de la unió de conjunts. Sumar el nombre d'elements d'un conjunt amb el nombre d'elements d'un altre ha de donar el mateix resultat que començar comptant els de l'un i llavors, en comptes de tornar a començar, seguir comptant amb els elements de l'altre.
 
A partir del concepte que ''n'' + 1 és igual al següent de ''n'' és possible definir per inducció la [[suma]] mitjançant l'expressió: <blockquote><math>a + (b + 1) = (a + b) + 1</math></blockquote>la qual cosa converteix els nombres naturals (<math>\mathbb{N}</math>, +) en un [[monoide commutatiu]] amb [[element neutre]] 0, l'anomenat ''Monoide Lliure amb un generador''. Aquest monoide satisfà la propietat anul·lativa i per tant pot incloure's en un [[Grup (matemàtiques)|grup]] matemàtic. El menor grup que conté els naturals és el dels [[nombre enter|nombres enters]].
 
''a'' + (''b'' + 1) = (''a'' + ''b'') + 1
 
la qual cosa converteix els nombres naturals (<math>\mathbb{N}</math>, +) en un [[monoide commutatiu]] amb [[element neutre]] 0, l'anomenat ''Monoide Lliure amb un generador''. Aquest monoide satisfà la propietat anul·lativa i per tant pot incloure's en un [[Grup (matemàtiques)|grup]] matemàtic. El menor grup que conté els naturals és el dels [[nombre enter|nombres enters]].
 
Aplicant recursivament aquesta definició fins que només quedin operacions de sumar 1 (és a dir aplicar la funció "següent de", que forma part dels axiomes) la definició és equivalent a dir intuïtivament que sumar ''a'' més ''b'' és sumar a ''a'' tants cops 1 com cops cal sumar 1 a zero per arribar a ''b'' (o trobar el següent de ''a'' tants cops com cal trobar el següent de zero per arribar a trobar ''b'').
& =\left( \left( a+1 \right)+1 \right)+1
\end{align}</math>
o equivalentment <math>a+3=\operatorname{seg}\left( \operatorname{seg}\left( \operatorname{seg}\left( a \right) \right) \right)</math>
 
=== Resta ===
La resta és l'operació inversa de la suma. És a dir es diu que un nombre ''c'' és igual a ''a'' - ''b'' si ''c'' + ''b'' = ''a''. Per tant l'operació de restar de ''a'' el nombre ''b'' és trobar un nombre ''c'' tal que sumat a ''b'' doni ''a''.
 
La resta s'expressa de la manera següent: '''a − b = c''', on '''a''' s'anomena '''minuend''', '''b''' s'anomena '''subtrahend''' i '''c''' és el resultat de la resta o '''diferència'''.
 
En el conjunt dels '''nombres naturals''', N, només es poden restar dos [[nombre]]s si el minuend és major o igual que el subtrahend. Si el minuend i el subtrahend són iguals, la diferència és [[zero]]. Per això es diu que el conjunt dels nombres naturals no és tancat respecte de la resta, perquè donats dos nombres naturals qualsevol ''a'' i ''b'' no sempre existeix un nombre natural ''c'' tal que ''c'' = ''a'' - ''b''.
 
=== Multiplicació ===
 
La multiplicació cal definir-la de manera que coincideixi amb el concepte intuïtiu de què multiplicar un nombre per un altre és el mateix que sumar el nombre amb si mateix tants cops com unitats té l'altre. Això es pot aconseguir de manera anàloga, definint la multiplicació × mitjançant el següent: ''<math>a'' ×\times (''b'' + 1) = ''a×b''a \times b + ''a''</math> i establint que ''<math>a'' ×\times 0 = 0</math>.
 
Per exemple, aplicant la definició recursivament s'obté:
\end{align}</math>
 
Això converteix (<math>\mathbb{N}</math>, ×) (això és <math>\mathbb{N}</math> amb aquesta nova operació) en un monoide commutatiu; suma i multiplicació són compatibles gràcies a la [[propietat distributiva]] que s'expressa com segueix: <blockquote><math>a \times (b + c) = (a\times b) + (a\times c)</math>.</blockquote>
 
''a'' × (''b'' + ''c'') = ''(a×b)'' + ''(a×c)''.
 
=== Divisió ===
{{principal|divisió euclidiana}}
Mentre que en general no és possible dividir un nombre natural ''a'' entre qualsevol altre ''b'' i que aquesta operació resulti un nombre natural (és a dir, no és possible trobar un altre nombre natural ''q'' tal que ''b×q''<math>b\times q = ''a'' </math>); tenim alguna cosa semblant a la divisió: per a qualssevol dos nombres naturals ''a'' i ''b'', amb ''b'' ≠ 0, podem trobar altres naturals ''q'' i ''r'' tals que
 
:<math>a = b\times q + r\quad \text{i} \quad r < b</math>.
:''a'' = ''b×q'' + ''r''&nbsp;&nbsp;&nbsp; i &nbsp;&nbsp;&nbsp;''r'' < ''b''.
 
El nombre ''q'' l'anomenem ''quocient'' i ''r'' el ''residu'' d'aquesta divisió d'''a'' entre ''b''. Els nombres ''q'' i ''r'' estan unívocament determinats per ''a'' i ''b''.
L'operació que a ''a'' i ''b'' els fa correspondre ''q'' i ''r'' (o dit d'una altra manera que a partir de ''a'' i ''b'' calcula ''q'' i ''r'') s'anomena '''divisió euclidiana'''. El ''Teorema de la divisió euclidiana per als nombres naturals'' afirma que per a qualsevol parella de nombres naturals ''a'' i ''b'' els nombres naturals ''q'' i ''r'' que compleixen les condicions anteriors existeixen i són únics.
 
Una forma de calcular la divisió euclidiana de ''a'' entre ''b'' seria anar provant, començar per ''q''<submath>q_0 = 0</submath> = 0 i seguir per ''q''<sub>1</submath>q_1 = 1, ''q''<sub>q_2 = 2,\ldots</submath> = 2 ... i calcular en cada cas ''a''×''q''<sub>i</sub> fins a arribar a un ''q''<submath>iq_i</submath> tal que ''a''×''q''<sub>i</submath>a\times q_i > ''b''</math> llavors el quocient que es buscava és ''<math>q'' = ''q''<sub>q_{i-1}</submath> i el residu ''<math>r'' = ''a'' - ''b'' ×\times ''q''</math>. Aquest mètode, és útil per demostrar l'existència i la unicitat del resultat de la divisió euclidiana (és a dir demostrar el ''teorema de la divisió euclidiana per als nombres naturals'') però requereix una quantitat molt gran de càlculs. Per això per calcular la divisió euclidiana es fan servir altres [[algorisme]]s més eficients.
 
A l'article [[Divisió euclidiana#Mètode corrent, decimal|Divisió euclidiana]] s'explica rigorosament l'algorisme per calcular la divisió euclidiana quan els nombres estan escrits en base 10 i a l'article [[Divisió#Com realitzar una divisió manualment|Divisió]] s'explica amb un exemple el càlcul manual emprant aquest algorisme.
 
== Propietats ==
 
{| class="wikitable"
!
| || suma || multiplicació
!Suma
!Multiplicació
|-----
![[Clausura (matemàtiques)|Clausura]]
|<math>a+b</math> és un enter.
|<math>a\cdot b</math> és un enter.
|- href="lema d'Euclides"
![[Associativitat]]
|<math>a+(b+c)=(a+b)+c</math>
|<math>a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>
|- href="descomposició en factors primers"
![[Commutativitat]]
| href="nombre enter" |<math>a+b=b+a</math>
|<math>a\cdot b=b\cdot a</math>
|-
![[Element neutre]]
| Clausura: || ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp; és un nombre natural || ''a''&nbsp;×&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp; és un nombre natural
|<math>a+0=a</math>||<math>a\cdot 1=a</math>
|-
![[Element invers|Invers]]
| [[Propietat associativa]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;''c'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;(''b''&nbsp;×&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''b'')&nbsp;×&nbsp;''c''
| resource="Fitxer:GrayDotX.svg" height width |<math>a+(-a)=0</math>
|-
| [[Propietat commutativa]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;''a'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''b''&nbsp;×&nbsp;''a''
|- href="Fitxer:GrayDotX.svg"
|-
! resource="Fitxer:GrayDotX.svg" height width |[[Distributivitat]]
| Existència de l'[[element neutre]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;0&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;1&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a''
| colspan="2" align="center" href="Fitxer:GrayDotX.svg" |<math>a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)</math><tr /><th>Manca de [[Divisor de zero|divisors de zero]]</th><td resource="Fitxer:GrayDotX.svg" height width></td><td>Si <math>a\cdot b = 0</math>, llavors, o bé <math>a=0</math> o bé <math>b=0</math> (o tots dos)</td>
|-
| [[Propietat distributiva]]: || colspan=2 align=center| ''a''&nbsp;×&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''c'')
|-
| No hi ha [[divisor de zero|divisors de zero]]: || || si ''ab'' = 0, llavors o bé ''a'' = 0 o bé ''b'' = 0 (o tots dos)
|}
 
Altres propietats més complexes dels nombres naturals, com la distribució dels [[nombre primer|nombres primers]] per exemple, són estudiades per la [[teoria de nombres]].
 
== Aplicacions ==
 
84

modificacions