Nombre natural: diferència entre les revisions

Un '''nombre natural''' és qualsevol dels [[nombre]]s 0, 1, 2, 3...3…, 19, 20, 21, 2222…, ..., 1059...1059…, un [[milió]] ...…, que es poden usar per a comptar els elements d'un [[conjunt]] finit. Per exemple: 24 pomes, 2 camions o 1123 peixos, són situacions on es compta amb nombres naturals. El conjunt de tots els nombres naturals se simbolitza per la lletra ℕ<math>\mathbb{N}</math> o '''N'''.

En alguns àmbits matemàtics (especialment en [[teoria de nombres]]) és convenient no considerar el [[zero]] com un nombre natural.,<ref>{{ref-web|url=http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html|títol=Natural Number|cognom=Weisstein|nom=Eric W.|consulta=27 novembre 2013|llengua=anglès|obra=MathWorld|editor=Wolfram Research, Inc.}}</ref> mentre que uns altres, especialment en [[teoria de conjunts]], [[lògica]] i [[informàtica]], predomina la postura oposada. En aquest article, el zero és considerat un nombre natural.

Segons [[Kronecker]], matemàtic alemany (1823-18911823–1891):

{{cita|''Die ganze Zahl schuf der liebe Gott, alles Übrige ist Menschenwerk''.
"Déu va crear els nombres enters,; tota la resta és obra de l'home."|Cajori|History of Mathematics (London 1919)}}En tot cas, segur que Kronecker es referiria als naturals si a la seva època la nomenclatura fos l'actual. Així, ara hauria dit: "Déu va crear els nombres naturals,; tota la resta és obra de l'home".|Cajori|History of Mathematics (London 1919)}}

Per a denotar el conjunt dels naturals sense el zero, és habitual usar un asterisc com a superíndex de la '''<math>\mathbb{N}</math>''':

:<math>\mathbb{N}</math>^{^*} = \{ 1, 2, ...\ldots \}</math>.

:<math>\mathbb{N}</math>₀_0 = \{ 0, 1, 2, ...\ldots \}</math>.

Els sistemes de numeració<ref> [http://www.abstractmath.org/MM/MMNaturalNumbers.htm Natural numbers] </ref> més a bastament emprats són els sistemes de numeració posicionals.

:Llavors cada nombre natural és igual al conjunt dels nombres naturals més petits que ell;. perPer tant:

:* 2 = <nowiki>{0,1} &= \{0, {0}\} = \{\{&nbsp\;\}\}, {{&nbsp;}}}</nowiki>\\

:* 32 &= <nowiki>\{0,1,2\} = \{0, \{0\}, {0, {0}}\} = \{\{&nbsp\;\}, \{\{&nbsp\;\}\}, {{&nbsp;\}, {{&nbsp;}}}}</nowiki>\\

:Amb aquesta definició, també coincideixen diferents interpretacions possibles de notacions com '''R'''<supmath>''\mathbb{R}^n''</supmath> (''n-''tuples versus aplicacions de ''n'' en '''<math>\mathbb{R'''}</math>).

A partir del concepte que ''n'' + 1 és igual al següent de ''n'' és possible definir per inducció la [[suma]] mitjançant l'expressió: <blockquote><math>a + (b + 1) = (a + b) + 1</math></blockquote>la qual cosa converteix els nombres naturals (<math>\mathbb{N}</math>, +) en un [[monoide commutatiu]] amb [[element neutre]] 0, l'anomenat ''Monoide Lliure amb un generador''. Aquest monoide satisfà la propietat anul·lativa i per tant pot incloure's en un [[Grup (matemàtiques)|grup]] matemàtic. El menor grup que conté els naturals és el dels [[nombre enter|nombres enters]].

o equivalentment <math>a+3=\operatorname{seg}\left( \operatorname{seg}\left( \operatorname{seg}\left( a \right) \right) \right)</math>

La resta és l'operació inversa de la suma. És a dir es diu que un nombre ''c'' és igual a ''a'' -− ''b'' si ''c'' + ''b'' = ''a''. Per tant l'operació de restar de ''a'' el nombre ''b'' és trobar un nombre ''c'' tal que sumat a ''b'' doni ''a''.

En el conjunt dels '''nombres naturals''', N, només es poden restar dos [[nombre]]s si el minuend és major o igual que el subtrahend. Si el minuend i el subtrahend són iguals, la diferència és [[zero]]. Per això es diu que el conjunt dels nombres naturals no és tancat respecte de la resta, perquè donats dos nombres naturals qualsevol ''a'' i ''b'' no sempre existeix un nombre natural ''c'' tal que ''c'' = ''a'' -− ''b''.

La multiplicació cal definir-la de manera que coincideixi amb el concepte intuïtiu de què multiplicar un nombre per un altre és el mateix que sumar el nombre amb si mateix tants cops com unitats té l'altre. Això es pot aconseguir de manera anàloga, definint la multiplicació × mitjançant el següent: ''<math>a'' ×\times (''b'' + 1) = ''a×b''a \times b + ''a''</math> i establint que ''<math>a'' ×\times 0 = 0</math>.

Això converteix (<math>\mathbb{N}</math>, ×) (això és <math>\mathbb{N}</math> amb aquesta nova operació) en un monoide commutatiu; suma i multiplicació són compatibles gràcies a la [[propietat distributiva]] que s'expressa com segueix: <blockquote><math>a \times (b + c) = (a\times b) + (a\times c)</math>.</blockquote>

Mentre que en general no és possible dividir un nombre natural ''a'' entre qualsevol altre ''b'' i que aquesta operació resulti un nombre natural (és a dir, no és possible trobar un altre nombre natural ''q'' tal que ''b×q''<math>b\times q = ''a'' </math>); tenim alguna cosa semblant a la divisió: per a qualssevol dos nombres naturals ''a'' i ''b'', amb ''b'' ≠ 0, podem trobar altres naturals ''q'' i ''r'' tals que

Una forma de calcular la divisió euclidiana de ''a'' entre ''b'' seria anar provant, començar per ''q''<submath>q_0 = 0</submath> = 0 i seguir per ''q''<sub>1</submath>q_1 = 1, ''q''<sub>q_2 = 2,\ldots</submath> = 2 ... i calcular en cada cas ''a''×''q''_i fins a arribar a un ''q''<submath>iq_i</submath> tal que ''a''×''q''<sub>i</submath>a\times q_i > ''b''</math> llavors el quocient que es buscava és ''<math>q'' = ''q''<sub>q_{i-1}</submath> i el residu ''<math>r'' = ''a'' - ''b'' ×\times ''q''</math>. Aquest mètode, és útil per demostrar l'existència i la unicitat del resultat de la divisió euclidiana (és a dir demostrar el ''teorema de la divisió euclidiana per als nombres naturals'') però requereix una quantitat molt gran de càlculs. Per això per calcular la divisió euclidiana es fan servir altres [[algorisme]]s més eficients.

|-