Teoria de conjunts: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m referències|2 --> referències |
m Aplicant la plantilla {{ISBN}} per evitar l'enllaç màgic d'ISBN |
||
Línia 172:
L'axioma d'elecció està, d'altra banda, molt vinculat a l'infinit matemàtic; en efecte, l'axioma d'elecció és ''intuïtivament'' verdader per a un nombre finit d'eleccions, i d'altra banda demostrable, en aquest cas, a partir dels altres axiomes de la teoria dels conjunts. Ara bé, al voltant del 1904, entrem de ple en la controvèrsia posada en marxa pel descobriment de les paradoxes.<ref>le paradoxe de Russell et d'autres, est paru dans les ''principles of mathematics'' du dit [[Bertrand Russell|Russell]] en 1903, le paradoxe de Richard est publié en 1905 ...</ref> Llavors, diverses concepcions de l'infinit matemàtic s'enfronten. Això arribarà, fins i tot, a qüestionar radicalment els fonaments de les matemàtiques per part de [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer]], fundador de l'[[intuïcionisme]], que descarta el [[principi del terç exclòs]], que se situa força més amunt de l'axioma d'elecció. Tanmateix, en aquell temps, certs matemàtics que no van tan lluny i accepten certes formes de raonament no constructiu, desconfien de l'axioma d'elecció. [[Emile Borel]] escriu el 1950:<ref>Préface de la 4ème édition des ''leçons sur la théorie des fonctions''</ref> És ja un resultat important obtingut pels adversaris de l'axioma de Zermelo que tots els que admeten aquest axioma prenen la cura, quan obtenen un teorema nou, d'especificar si la demostració d'aquest teorema exigeix o no la utilització de l'axioma de Zermelo. Aquest axioma ha creat així una branca separada de les matemàtiques; la importància i l'interès d'aquesta branca decidiran la seva sort. En tot cas, es pot dir que avui, vista justament la seva utilització en branques importants de les matemàtiques, l'axioma d'elecció és àmpliament acceptat.
Això encara més des que se sap, a partir dels treballs de Gödel,<ref name="constructibles">[[Kurt Gödel]]. ''The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory'', Princeton University Press.{{ISBN
D'altra banda, s'han identificat restriccions de l'axioma d'elecció, com l'axioma d'elecció enumerable (que permet, per exemple, demostrar que una reunió numerable de conjunts numerables és numerable); aquest mateix és conseqüència de l'axioma d'elecció depenent (que permet, per exemple, demostrar l'existència d'una successió infinita decreixent per a una [[relació ben fonamentada|relació no ben fonamentada]]). Així, [[Robert M. Solovay|Robert Solovay]] va publicar el 1970 la coherència de la teoria ZF + l'axioma d'elecció depenent + tot subconjunt dels reals és [[mesura de Lebesgue|Lebesgue-mesurable]], teoria que contradiu l'axioma d'elecció en tota la seva generalitat, relativament a la teoria ZF + existeix un cardinal inaccessible (un reforç de la teoria ZF que permet demostrar la coherència de ZF).<ref>Robert M. Solovay ''A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue mesurable'', Annals of Math. 92, 1970, pp 1-56.</ref> Tanmateix, l'axioma d'elecció enumerable és insuficient en geometria algebraica, ja que el tractament dels cossos algebraicament tancats requereix el [[lema de Zorn]], que és equivalent a l'axioma d'elecció; per tant, el teorema segons el qual tot cos pot ser submergit en un cos algebraicament tancat es basa en l'axioma d'elecció general.<ref>Ouvrage collectif ''Penser les mathématiques'' (séminaire de l'ENS) Editions du Seuil, Paris 1982 ISBN 2 02 006061 2 note 7 p.35</ref>
Línia 189:
# [[Axioma d'extensionalitat]]: si dos conjunts tenen els mateixos elements, llavors són idèntics.
# [[Axioma del conjunt buit]]: existeix un conjunt sense cap element. Es nota <math>\varnothing</math> (o menys freqüentment <math>\{\}</math>). Parlant en propietat, Aquest axioma no forma part de l'axiomatització de ZF, pel cap baix en la seva versió actual, formalitzada en càlcul de predicats de primer ordre. Es pot deduir d'una propietat genèrica del càlcul de predicats, que és que un model d'una teoria és no buit. En el cas de la teoria dels conjunts, això significa dir que existeix almenys un conjunt, i aquesta propietat no requereix cap axioma específic: es demostra en lògica pura. D'aquí es dedueix, per l'esquema d'axiomes de comprensió, l'existència del conjunt buit. Tanmateix, aquest axioma es troba en variants de la teoria dels conjunts, o en presentacions més antigues o semiformals de la teoria ZF, com a la de Paul Halmos.<ref name="halmos">Paul Richard Halmos, ''Naive Set Theory'', D. Van Nostrand Company, Princeton, NJ, 1960. Reprinted, Springer-Verlag, New York, NY, 1974, {{ISBN
# [[Axioma d'aparellament]]: si ''x'' i ''y'' són dos conjunts; llavors, existeix un conjunt que conté ''x'' i ''y'' i només aquests com a elements. Aquest conjunt es nota <math>\{x,y\}</math>Cal observar que ''x'' i ''y'' no són necessàriament diferents. Aquest axioma és conseqüència de l'[[esquema de substitució]], però no de l'[[esquema de comprensió]]; també se'l pot ometre en la teoria ZF, però és indispensable en la teoria Z.
# [[Axioma de reunió]]: per a tot conjunt ''X'', existeix un conjunt ''R'' els elements del qual són precisament els elements dels elements de ''X'' i només aquests.
| |||