Funció trigonomètrica: diferència entre les revisions

Les funcions trigonomètriques varen ser estudiades per:

 

* A [[Egipte]], [[Claudi Ptolemeu]] (90–180 AD) va escriure l'[[almagest]] on desenvolupa les fórmules equivalents a les actuals pel sinus de la suma de dos angles però per la funció corda, i una fórmula pel càlcul de la corda de l'angle meitat, a partir d'aquí va crear una taula trigonomètrica<ref name="boyer1991">Boyer, pàg. 158–168.</ref>

* El matemàtic [[Índia|Indi]] [[Aryabhata]] (476–550) definí per primera vegada les funcions sinus (la meitat de la corda) i cosinus. Els seus treballs contenen les taules més antigues que existeixin actualment dels valors del sinus de tots els angles compresos entre 0° i 90° a intervals de 3,75°, amb una precisió de 4 decimals. Aquesta taula fou reproduïda per [[Brahmagupta]] (628)<ref name="oconnor1996"/>

 

=== Basant-se en la circumferència goniomètrica ===

[[Fitxer:Unit circle.svg|thumb|El sinus i el cosinus d'un angle ''t'' es defineixen respectivament com el valor de la coordenada ''y'' i la coordenada ''x'' del punt on la circumferència de radi unitat interseca el radi girat un angle ''t'' respecte de l'eix ''x'' positiu.]]

[[Fitxer:Unit_circle_angles.svg|300px|thumb|La circumferència goniomètrica.]]

 

=== Basant-se en sèries ===

[[Fitxer:Taylorsine.svg|300px|thumb|La funció sinus (blau) és aproximada amb molta exactitud pel seu [[polinomi de Taylor]] de grau 5 (rosa) per un cercle complet centrat a l'origen.]]

 

 

=== Emprant equacions diferencials ===

Tant la funció sinus com la funció cosinus satisfan l'[[equació diferencial]]

 

 

=== Emprant equacions funcionals ===

En [[anàlisi matemàtica]], les funcions trigonomètriques es poden definir emprant [[equació funcional|equacions funcionals]] basades en propietats com les fórmules de la suma i la diferència. Prenent com a dades aquestes fórmules i la identitat de Pitàgores, per exemple, es pot demostrar que només hi ha dues funcions reals que satisfan aquestes condicions. Simbòlicament es pot dir que existeix exactament un parell de funcions reals ''sin'' i ''cos'' tals que per a qualsevulla nombres reals ''x'' i ''y,'' es compleixen les següents equacions:

:<math>

 

== Identitats trigonomètriques ==

{{principal|Llista d'identitats trigonomètriques|Demostració de les identitats trigonomètriques}}

 

 

== Càlcul de les funcions trigonomètriques ==

El càlcul de les funcions trigonomètriques és una qüestió complicada que avui en dia pot ser evitada per la majoria de la gent a causa de l'ampla disponibilitat dels [[ordinador]]s i de les [[calculadora científica|calculadores científiques]] que ofereixen càlcul preprogramat de funcions trigonomètriques per a qualsevol angle. Ara bé, en aquesta secció es donen més detalls sobre el seu càlcul en tres contexts importants: l'ús històric de les taules trigonomètriques, les tècniques modernes que es fan servir per programar els ordinadors per a calcular-les, i en quant angles "importants" per als quals els valors exactes simplement es poden trobar de forma senzilla.

 

La resolució de triangles és la tècnica en la que es basa la [[triangulació]]. Aplicant sistemàticament aquesta tècnica es va fer la triangulació dels [[Països Catalans]] que es reprodueix a la figura de la dreta. La part que va des de [[Salses]] fins a [[Barcelona]] la va fer el científic [[França|francès]] [[Pierre Méchain]] i la part que va des de Barcelona fins a [[Mallorca]] la va començar Méchain juntament amb el científic [[Catalunya Nord|català]] [[Francesc Aragó]] i la va acabar aquest últim en morir Méchain a [[Castelló de la Plana]] sense haver pogut acabar els treballs. Aquesta part juntament amb la part francesa va servir per mesurar el meridià de [[París]] i aquesta mesura es la que es va fer servir per definir el [[metre]] patró.<ref>[http://www.udg.edu/Portals/88/Santalo/confer%C3%A8ncies/Un_passeig_per_la_hist%C3%B2ria_del_sistema_m%C3%A8tric.pdf Un passeig per la història del sistema mètric decimal], Anton Aubanell Pou, Càtedra "Lluís Santaló" de la Universitat de Girona.</ref>

 

{{principal|Teorema del sinus}}

El [[teorema del sinus]] estableix que per a qualsevol [[triangle]] de costats ''a'', ''b'', i ''c'' i angles oposats a aquests costats ''A'', ''B'' i ''C'':

Es pot demostrar a base de dividir el triangle en dos triangles rectangles i fent servir la definició del sinus. El teorema del sinus és útil per a calcular les longituds dels costats desconeguts d'un triangle si es coneixen dos angles i un constat. Aquesta és una situació que succeeix normalment en [[triangulació]], una tècnica per a determinar distàncies desconegudes a base de mesurar dos angles i una distància accessible entre els dos angles.

 

{{principal|Teorema del cosinus}}

 

:<math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(A+B)]}{\tan[\frac{1}{2}(A-B)]}</math>

 

[[Fitxer:Synthesis_square.gif|thumb|350px|right|Animació d'una síntesi adaptativa d'una [[ona quadrada]] amb un nombre creixent d'harmònics.]]

En física les funcions sinus i cosinus, per exemple, es fan servir per a descriure el [[moviment harmònic simple]], el qual és un model de fenòmens naturals, com ara el moviment d'una massa fixada en una molla i, per angles petits, el moviment pendular d'una massa penjada d'una corda. Les funcions sinus i cosinus són les projeccions unidimensionals del [[moviment circular uniforme]].<ref>{{format ref}} http://cns.upf.edu/laura/teaching/ffi/teoria_osc.pdf Fonaments Físics de la Informàtica] Capítol 2 oscil·lacions</ref>

 

== Vegeu també ==

* [[Construcció de les taules trigonomètriques]]

* [[Funcions hiperbòliques]]

== Referències ==

<div style="font-size:95%">

* Kantabutra, Vitit. "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," ''IEEE Trans. Computers'' '''45''' (3), 328–339 (1996).

*Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html "Tangent"] a ''[[MathWorld]]'', accés el [[21 de gener]] de [[2006]].

</div>

== Enllaços externs ==

{{Commonscat}}

 

{{Article de qualitat}}