Revisió del 03:21, 30 nov 2018 modifica ArnauBot (discussió \| contribucions) Bots 660.208 edits Robot posa data a plantilles de manteniment ← Edició anterior		Revisió del 11:44, 1 des 2018 modifica desfés Townie (discussió \| contribucions) Administradors 34.535 edits Amplio Edició següent →
Línia 17: L'obra de Kepler, publicada entre el 1609 i el 1619, va millorar la [[teoria heliocèntrica]] de [[Nicolau Copèrnic]] explicant com variaven les velocitats dels planetes, i fent servir òrbites el·líptiques i no circulars amb [[epicicle]]s.<ref name=Holton/> El 1687, [[Isaac Newton]] va demostrar que les relacions establertes per Kepler s'aplicaven al Sistema Solar com a conseqüència de les seves [[Lleis de Newton\|lleis del moviment]] i [[Llei de la gravitació universal\|de la gravitació universal]]. == Formulari == ~~== Formulació de Newton de la III llei de Kepler ==~~ El model matemàtic de la cinemàtica d'un planeta subjecte a les lleis permet fer un gran ventall de càlculs. ~~[[Fitxer: Kepler-second-law.gif\|thumb\|220px\| Segona llei de Kepler.]]~~ === Primera llei de Kepler === ~~Kepler no va presentar les seves lleis en forma neta i concisa, sinó en llibres que contenien gran quantitat de detalls i inclús especulacions metafísiques.~~ {{Citació\|L'[[òrbita]] de cada [[planeta]] és una [[el·lipse]] amb el Sol a un dels seus dos [[focus (geometria)\|focus]].}} Va ser [[Isaac Newton]] el que va extreure les lleis dels seus escrits, i les va relacionar amb els seus propis descobriments, donant sentit físic al que eren simplement lleis [[ciències empíriques\|empíriques]]. ~~Newton va deduir:~~ [[Fitxer:kepler-first-law.svg\|thumb\|La primera llei de Kepler situa el Sol al focus d'una òrbita el·líptica]] ~~:<math>\,T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}R^3</math>~~ [[Fitxer:Ellipse latus rectum.svg\|thumb\|Sistema de coordenades heliocèntric (''r'',{{nbsp}}''θ'') per una el·lipse. També s'hi mostren el semieix major ''a'', el semieix menor ''b'' i el ''semilatus rectum'' ''p''; el centre de l'el·lipse i els seus dos focus marcats per punts. Per {{nowrap\|θ {{=}} 0°}}, {{nowrap\|''r'' {{=}} ''r''{{sub\|min}}}} i per {{nowrap\|θ {{=}} 180°}}, {{nowrap\|''r'' {{=}} ''r''{{sub\|max}}}}.]] ~~on:~~ Matemàticament, es pot representar amb la fórmula: * <math>\, T </math> és el [[període orbital]]. :<math>r = \frac{p}{1 + \varepsilon\, \cos\theta},</math> * <math>\, R </math> és el [[semieix major]] de l'el·lipse. * <math>\, G </math> és la [[constant gravitatòria universal]] igual a <math> 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}</math> . * <math>\, M </math> és la [[massa]] del cos central. on <math>p</math> és el ''[[Cònica\|semilatus rectum]]'', ''ε'' és l'[[excentricitat]] de l'el·lipse, ''r'' és la distància des del Sol fins al planeta, i ''θ'' és l'angle a la posició actual del planeta des de la seva aproximació més propera, vist des del Sol. Així, (''r'', ''θ'') és un sistema de [[coordenades polars]]. Per una el·lipse 0 < ''ε'' < 1; al cas límit ''ε'' = 0, l'òrbita és un cercle amb el Sol al centre, ja que l'excentricitat és nul·la. Newton va descobrir la llei de la [[gravitació universal]] i va poder desenvolupar, a partir d’aquesta, la 3a llei de Kepler (vegeu més amunt). Kepler va obtenir aquesta llei empíricament, és a dir, obtenint dades i formulant una conclusió, procedint pel mètode inductiu; mentre que Newton va obtenir aquesta llei racionalment i matemàticament, deduint-la a partir de la seva llei de la gravitació universal. La 3a llei de Kepler es pot expressar matemàticament d’aquesta manera: A ''θ'' = 0°, [[periheli]], la distància és mínima ~~:<math>\,T^2=kR^3</math>~~ :<math>r_\min = \frac{p}{1 + \varepsilon}</math> A ''θ'' = 90° i a ''θ'' = 270° la distància és igual a <math>p</math>. On <math>\,T</math> és el període, <math>\,R</math> és la distància mitjana d’un cos que gira a un altre al voltant del qual gira i <math>\,k</math> és una constant que equival, més o menys, per al Sol com a massa central i la Terra com a planeta, a 2,95·10-19 s<sup>2</sup>·m<sup>-3</sup>, o el que és el mateix a 1 any<sup>2</sup>/UA<sup>3</sup>. A ''θ'' = 180°, [[afeli]], la distància és màxima (per definició, l'afeli és – invariablement – el periheli més 180°) ~~La reformulació matemàtica de la llei de la gravitació universal que el va dur a aquesta llei anterior és la següent:~~ :<math>r_\max = \frac{p}{1 - \varepsilon}</math> El [[semieix major]] ''a'' és la [[mitjana aritmètica]] entre ''r''<sub>min</sub> i ''r''<sub>max</sub>: ~~Primerament tenim la llei de la gravitació universal,~~ :<math>\begin{align} r_\max - a &= a - r_\min \\[3pt] a &= \frac{p}{1 - \varepsilon^2} \end{align}</math> El [[semieix menor]] ''b'' és la [[mitjana geomètrica]] entre ''r''<sub>min</sub> i ''r''<sub>max</sub>: ~~:<math>\vec{F}=G\frac{Mm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}</math>~~ :<math>\begin{align} \frac{r_\max}{b} &= \frac{b}{r_\min} \\[3pt] b &= \frac{p}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}} \end{align}</math> El ''[[Cònica\|semilatus rectum]]'' ''p'' és la [[mitjana harmònica]] entre ''r''<sub>min</sub> i ''r''<sub>max</sub>: ~~Com que <math>\,v=\frac{2 \pi R}{T}</math> substituïm <math>\,v</math> i simplifiquem l’expressió,~~ :<math>\begin{align} \frac{1}{r_\min} - \frac{1}{p} &= \frac{1}{p} - \frac{1}{r_\max} \\[3pt] pa &= r_\max r_\min = b^2\, \end{align}</math> L'[[excentricitat]] ''ε'' és el [[coeficient de variació]] entre ''r''<sub>min</sub> i ''r''<sub>max</sub>: ~~:<math>G \frac {M m}{R^2} = \frac{m4 \pi^2 R^2} {RT^2} \Longrightarrow {G \frac {M}{R} = \frac {4\pi^2R^2}{T^2}} \Longrightarrow {T^2 = \frac {4\pi^2}{GM}R^3}</math>~~ :<math>\varepsilon = \frac{r_\max - r_\min}{r_\max + r_\min}.</math> L'[[àrea]] de l'el·lipse és ~~On <math>\,4\pi^2/GM</math> és la constant k de la 3a llei de Newton esmentada abans. Així ens queda finalment,~~ :<math>A = \pi a b\,.</math> El cas especial d'un cercle, on ''ε'' = 0, porta al fet que ''r'' = ''p'' = ''r''<sub>min</sub> = ''r''<sub>max</sub> = ''a'' = ''b'' i ''A'' = ''πr''<sup>2</sup>. ~~:<math>\,T^2=kR^3</math>~~ === Segona llei de Kepler=== {{Citació\|Una [[recta]] que uneix un planeta i el Sol escombra àrees iguals en intervals de temps iguals.<ref name="Wolfram2nd"/>}} [[Fitxer:kepler-second-law.gif\|thumb\|S'escombra la mateixa àrea (en blau) en un període de temps fix. La fletxa verda és la velocitat. La fletxa lila dirigida cap al Sol, és l'acceleració. Les altres dues fletxes liles són les components de l'acceleració paral·lela i perpendicular a la velocitat.]] El radi orbital i la velocitat angular del planeta a l'òrbita el·líptica varia. Aquest fet es mostra a l'animació: el planeta es mou més ràpidament quan és a prop del Sol, i més lentament quan se n'allunya. La segona llei de Kepler afirma que el sector blau té una àrea constant. Per un breu instant <math>dt\,</math> el planeta escombra un petit triangle de base <math>r\,</math> altura <math>r \, d\theta</math> i àrea <math>dA = \frac{1}{2} \cdot r \cdot rd\theta</math>, i així la [[velocitat areolar]] constant és <math>\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2 \frac{d\theta}{dt}.</math> L'àrea de l'òrbita el·líptica és <math>\pi ab.\,</math> Així, el període <math>P\,</math> satisfà :<math>P \cdot \frac{1}{2}r^2 \frac{d\theta}{dt} = \pi ab</math> i el [[moviment mitjà]] del planeta al voltant del Sol :<math>n = \frac{2\pi}{P}</math> satisfà :<math>r^2\,d\theta = abn\,dt.</math> === Tercera llei de Kepler === {{Citació\|El [[quadrat (àlgebra)\|quadrat]] del [[període orbital]] és directament [[proporcional]] al [[cub (àlgebra)\|cub]] del [[semieix major]] de la seva òrbita.}} Això captura la relació entre la distància dels planetes des del Sol, i els seus períodes orbitals. Kepler va enunciar aquesta llei el 1619<ref name = "Kepler 1619"/> en un intent per determinar segons lleis precises el que veia com la "[[Harmonia de les esferes\|música de les esferes]]", i expressar-ho en termes de notació musical.<ref>[[Edwin Arthur Burtt\|Burtt, Edwin]]. ''The Metaphysical Foundations of Modern Physical Science''. p. 52.</ref> Així, era coneguda com la ''llei harmònica''.<ref name=Holton3>{{cite book \|title=Physics, the Human Adventure \|author=Gerald James Holton, Stephen G. Brush \|page=45 \|url=https://books.google.com/?id=czaGZzR0XOUC&pg=PA45\|isbn=0-8135-2908-5 \|publisher=Rutgers University Press \|date=2001}}</ref> Emprant la llei de la gravitació de Newton, publicada el 1687, es pot trobar aquesta relació pel cas d'una òrbita circular igualant la [[força centrípeta]] a la força gravitacional: : <math>mr\omega^2 = G\frac{mM}{r^2}</math> Llavors, expressant la velocitat angular en termes del període orbital i reordenant els termes, es troba la Tercera Llei de Kepler: : <math>mr\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = G\frac{mM}{r^2} \rightarrow T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM} \right)r^3 \rightarrow T^2 \propto r^3</math> Es pot trobar una relació més general per a òrbites el·líptiques i per òrbites al voltant d'un centre de massa, més que al voltant d'una massa gran. Això resulta en reemplaçar un radi circular <math>r</math> amb el semieix major d'una el·lipse <math>a</math>, a més de reemplaçar la massa <math>M</math> per <math>M + m</math>. Tanmateix, com que les masses dels planetes són significativament inferiors a les del Sol, sovint s'ignora aquesta correcció. La fórmula corresponent sencera és: :<math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{G(M + m)}{4\pi^2} \approx \frac{GM}{4\pi^2} \approx 7,495 \cdot 10^{-6} \left(\frac{\text{UA}^3}{\text{dies}^2}\right) \text{ és constant}</math> on <math>M</math> és la massa del sol, <math>m</math> és la massa del planeta i <math>G</math> és la [[constant de la gravitació]], <math>T</math> és el període orbital i <math>a</math> és el semieix major de l'el·lipse. La següent taula mostra les dades emprades per Kepler per derivar empíricament la seva llei: {\| class="wikitable" \|+ Dades emprades per Kepler (1618) ! Planeta ! Distància mitjana <br/>al sol (UA) ! Període <br/>(dies) ! <math display="inline">\frac{R^3}{T^2}</math>{{nbsp}}(10{{sup\|6}}{{nbsp}}AU{{sup\|3}}/day{{sup\|2}}) \|- \|Mercuri \|0,389 \|87,77 \|7,64 \|- \|Venus \|0,724 \|224,70 \|7,52 \|- \|Terra \|1 \|365,25 \|7,50 \|- \|Mart \|1,524 \|686,95 \|7,50 \|- \|Júpiter \|5,2 \|4332,62 \|7,49 \|- \|Saturn \|9,510 \|10759,2 \|7,43 \|} Després de trobar aquest patró, Kepler va escriure: "Inicialment creia que somiava... però és absolutament cert i exacte que aquesta proporció entre els períodes de dos planetes qualssevol és exactament la potència de 3/2 de la distància mitjana."<ref>{{Cite book\|title=Kepler\|last=Caspar\|first=Max\|publisher=Dover\|year=1993\|isbn=\|location=New York\|pages=}}</ref> [[Fitxer:Solar system planets a(AU) vs period(terrestrial years).png\|thumb\|514x514px\|Representació logarítmica del període orbital (en anys terrestres) segons el semieix major (en unitats astronòmiques) per als vuit planetes del sistema solar.]] Segons estimacions modernes: {\| class="wikitable" \|+ Dades actuals (Wolfram Alpha Knowledgebase 2018) ! Planeta ! Semieix major (UA) ! Període (dies) ! <math display="inline">\frac{R^3}{T^2}</math>{{nbsp}}(10{{sup\|6}}{{nbsp}}UA{{sup\|3}}/dia{{sup\|2}}) \|- \|Mercuri \|0,38710 \|87,9693 \|7,496 \|- \|Venus \|0,72333 \|224,7008 \|7,496 \|- \|Terra \|1 \|365,2564 \|7,496 \|- \|Mart \|1,52366 \|686,9796 \|7,495 \|- \|Júpiter \|5,20336 \|4332,8201 \|7,504 \|- \|Saturn \|9,53707 \|10775,599 \|7,498 \|- \|Urà \|19,1913 \|30687,153 \|7,506 \|- \|Neptú \|30,0690 \|60190,03 \|7,504 \|} == Referències == Linha 57 ⟶ 198: == Enllaços externs == {{Commonscat}} Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html, un llibre electrònic que ofereix una prova de la primera llei sense l'ús del càlcul. (section 5.2, p. 112) David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law - Java Interactive Tutorial, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html, an interactive Java applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law. Linha 66 ⟶ 207: *Kepler and His Laws, educational web pages by David P. Stern ~~{{Commonscat}}~~ {{Autoritat}} {{ORDENA:Lleis De Kepler}}

Lleis de Kepler: diferència entre les revisions