Obre el menú principal

Canvis

15 bytes afegits ,  fa 10 mesos
m
cap resum d'edició
Les seves revolucionàries idees foren desenvolupades en una sèrie de treballs que tingueren data entre [[1879]] i [[1884]]. Durant aquests anys, un seguit de problemes dificultaren la feina de Cantor, que acabà la correspondència amb alguns dels seus amics de la universitat. L'any [[1881]], després de la mort de Heine, proposà a [[Richard Dedekind|Dedekind]] per al mateix lloc a la universitat, però aquest declinà. A causa d’això, la seva correspondència matemàtica acabà poc després. Tanmateix, començà una fructífera amistat amb [[Gösta Mittag-Leffler]], qui li permeté publicar a la seva revista, [[Acta Mathematica]]. Els darrers articles foren publicats en una [[monografia]] titulada ''[https://books.google.cat/books?id=qcIejwEACAAJ Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre]'' (''Fonaments de la teoria general de les varietats''). Aquest fou especialment important per diversos motius, un dels quals per defensa de la crítica que va rebre, citant el seu autor:<blockquote>“M’adono que amb aquesta empresa meva em trobo amb una certa oposició al punt de vista extensament generalitzat pel que fa a l’[[infinit]] matemàtic i a l'opinió freqüentment defensada de la naturalesa dels [[nombres]].” </blockquote>Tanmateix, citant la seva pròpia explicació de l’article:<blockquote>“El major assoliment dels ''Grundlagen'' fou la presentació dels [[nombres transfinits]] com una idea autònoma i una extensió sistemàtica dels [[nombres naturals]].” </blockquote>En aquest treball els conceptes de naturalesa [[topologia|topològica]] comencen a sorgir. Les definicions de [[conjunt dens|subconjunt dens]], la idea de [[conjunt obert]] i [[conjunt tancat|tancat]] s'originen amb Cantor. Més tard, aquestes tindrien una repercussió important en els [[Espai T1|espais abstractes de Fréchet]] i en el clàssic ''[https://books.google.es/books?id=Q20_fm7prAYC Grundzüge der Mengenlehre]'' (''Principis de la teoria de conjunts'') de [[Felix Hausdorff|Hausdorff]]. La feina dels [[nombres transfinits]] fou només la primera passa del programa. Però, per perfeccionar la teoria, necessitava la [[Hipòtesi del Continu|hipòtesi del continu]], que romangué com un dels [[problemes de Hilbert|23 problemes de Hilbert]].&nbsp;
 
Aquestes teories foren feroçment atacades, fins i tot al camp personal, per molts matemàtics, especialment [[Leopold Kronecker|Kronecker]], que bloquejà gran part de l’avenç del treball de Cantor i no permeté que tornés a la feina de [[Berlín]]; altres matemàtics, com [[Felix Klein|Klein]] i [[Henri Poincaré|Poincaré]], es mostraren també reticents a acceptar-les. El [[1884]], Cantor sofrí una forta crisi de depressió, agreujada per les crítiques, així com ell mateix explica a una carta dirigida a [[Gösta Mittag-Leffler]]:<blockquote>“No sé quan podré tornar i continuar amb els meus treballs científics. De moment, no puc fer absolutament res, i em límit només a allò imprescindible per les meves classes; seria molt més feliç si pogués ser científicament actiu, si només tingués la frescor mental...” </blockquote>Sobre el [[1885]], [[Gösta Mittag-Leffler]] començà a dubtar de la feina de Cantor i l’avisà de no publicar uns papers sobre [[Nombre ordinal|nombres ordinals]]. Aquest succés desembocà en la parada de la correspondència entre ambdós i poc després, les feines de Cantor començaren a disminuir. S'abocà a treballs filosòfics, un estudi intens de la [[literatura isabelina]] i el problema d'autoria [[Bacon-Shakespeare]], denotant del seu inestable estat mental.
 
La tèrbola relació amb [[Leopold Kronecker|Kronecker]] es fou calmant i Cantor abandonà els treballs filosòfics i retornà al camp [[matemàtic]] amb ''[https://books.google.es/books?id=kOnNAQAACAAJ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre]'' (''Contribucions als fonaments de la teoria de conjunts transfinits''). La primera part d'aquesta feina fou publicada el [[1895]], tractava sobre conjunts simples ordenats. La segona, tot i que fou acabada poc temps després de la primera, sobre conjunts ben ordenats, no fou publicada fins dos anys després. Sembla, aparentment, que pretenia incloure una demostració de la [[hipòtesi del continu]], que tants problemes li portà i que romangué inconclusa.
 
== Influència religiosa ==
La religió, heretada de jove a través dels seus pares, tingué el paper important en la vida i pensaments de Cantor. No només fou necessària per enderrocar els arguments que diferents [[filosofia|filòsofs]] i [[teologia|teòlegs]] donaven contra l[[infinit|’infinit actual]], si no que s’escolà com a part intrínseca dels seus treballs. Després de les crisis nervioses del [[1884]], Cantor retornà a les [[matemàtiques]] doblement desencoratjat: no només semblava que la [[Hipòtesi del Continu|hipòtesi del continu]] era un camí sense sortida, si no que [[Gösta Mittag-Leffler]] pareixia haver tancat l'última porta de les esperances de ser entès per la comunitat matemàtica. Aïllat al [[Halle (Saxònia-Anhalt)|Halle]], començà a ensenyar [[filosofia]] i a cartejar-se amb teòlegs que li proporcionaren una sortida natural a la seva necessitat de comunicació.
 
Tanmateix, sembla que el contacte amb els teòlegs cristians només reforçà la simpatia que ja sentia per ells. A principis de [[1884]] ja confessava a [[Gösta Mittag-Leffler]] que ell no era el creador de la seva feina, si no només un missatger. Déu li havia donat la inspiració, deixant només a Cantor la responsabilitat d’escriure els articles i organitzar-los. Psicològicament, aquesta carta és molt reveladora perquè sembla demostrar que ja abans de la crisi nerviosa, no volia atribuir-se el mèrit dels seus treballs i preferia transferir la responsabilitat de les seves idees provocatives a un altre focus.
 
A més, també resulta important el fet que Cantor cregués en l’absoluta veritat de la seva teoria de conjunts perquè li havia sigut revelada. Així, no només es convertia en un missatger de Déu, si no també en un ambaixador. D’aquesta manera, hauria cregut que era el seu deure utilitzar els coneixements que li havien estat donats per prevenir l’Església &nbsp;de cometre greus errors en relació a la naturalesa de l’[[infinit]]. En una carta a [[Jeiler]] el [[1888]], Cantor declarà:<blockquote>“No tinc cap dubte de la veritat dels transfinits, els quals he descobert gràcies a l’ajuda de Déu i què, en la seva diversitat, he estudiat per més de vint anys; cada any, i gairebé cada dia, em porta més endins en aquesta ciència.”</blockquote>Fou encara més directe en una carta escrita a [[Hermite]] a principis de [[1894]] on explicava que fou la voluntat de Déu apartar-se dels afers matemàtics per treballar amb aspectes teològics i filosòfics:<blockquote>“Però ara agraeixo a Déu, omniscient i tot bondadós, que Ell sempre m’ha denegat la realització d’aquest desig [el d’aconseguir una posició a la universitat de [[Göttingen]] o a la de [[Berlín]]], perquè Ell llavors m’ha limitat, a través d’un profund contacte amb la teologia, a servir-lo a Ell i la Seva Sagrada Església Catòlica Romana molt millor del que he sigut capaç amb la meva preocupació exclusiva per les matemàtiques.”</blockquote>De cop, Cantor senyalà les nombroses decepcions i els dubtes acumulats durant més de dues dècades. La falta de confiança en si mateix i en els seus poders matemàtics reflectien la frustració que devia sentir al ser incapaç de resoldre la [[Hipòtesi del Continu|hipòtesi del continu]], combinat amb els atacs de [[Kronecker]] i l’aparent negativa de [[Gösta Mittag-Leffler]] sobre els seus recents descobriment sobre els tipus d’ordre. Cantor acabà abandonat els seus companys matemàtics per trobar consol i inspiració entre els teòlegs i filòsofs de l’Església. La religió renovà part de la seva confiança i alimentà la creença en la veritat dels seus treballs. Inspirat i ajudat per Déu, estava segur que la seva feina era significativa, tot i el fracàs dels matemàtics a l’hora d’intentar entendre la importància dels seus descobriments.
 
== Obra ==
Cantor fou el primer a formular el que després es coneixeria com la [[Hipòtesi del Continu]] o CH: no hi ha cap conjunt la cardinalitat del qual sigui més gran que la del conjunt dels nombres naturals i a la vegada més petita que la del conjunt dels nombres reals (o equivalentment, la cardinalitat del conjunt dels nombres reals és ''exactament'' \aleph-one, en lloc de ''almenys'' \aleph-one). La incapacitat de demostrar la Hipòtesi del Continu va causar a Cantor ansietat considerable, però retrospectivament és perfectament comprensible: un resultat de [[Gödel]] del [[1940]] i un resultat de [[Paul Cohen (mathematician)|Paul Cohen]] del [[1963]] mostren els dos junts, que no es pot demostrar la Hipòtesi del Continu ni la seva negació en la teoria estàndard de la teoria de conjunts de [[Ernst Zermelo|Zermelo]]-[[Abraham Fraenkel|Fraenkel]] més l'[[Axioma de l'elecció]] ([[ZFC]]).<ref>Alguns matemàtics consideren que amb aquests resultats la qüestió queda totalment resolta, i que com a molt permet que sigui possible examinar les conseqüències formals de CH i de la seva negació, o d'algun axioma que implica algun d'aquests. Altres matemàtics continuen buscant axiomes "naturals" o "plausibles" que, una vegada afegits a ZFC, permetin demostrar o refutar CH, o que donin proves directes en o en contra de CH; entre els més destacats matemàtics que treballen en aquest sentit trobem [[W. Hugh Woodin]].</ref>
 
El [[1882]], la rica correspondència matemàtica que hi havia hagut entre Cantor i Dedekind va acabar-se. Cantor començà una interessant correspondència amb [[Mittag-Leffler]] de Suïssa, i aviat va començar a publicar a la revista de Mittag-Leffler ''Acta Mathematica''. Però el 1885, [[Mittag-Leffler]] va demanar a Cantor que retirés un article d'''Acta'' mentre l'estava revisant, escrivint que "... about one hundred years too soon." Cantor accedí, però va escriure a un tercer :<blockquote>"Had Mittag-Leffler had his way, I should have to wait until the year 1984, which to me seemed too great a demand! ... But of course I never want to know anything again about ''Acta Mathematica''."</blockquote> Així va finalitzar la seva correspondència amb Mittag-Leffler, com ho havia fet el brillant desenvolupament de Cantor sobre la teoria de conjunts els 12 anys precedents. Mittag-Leffler tenia bones intencions, però aquest incident revela com fins i tot els més brillants contemporanis de Cantor sovint no foren capaços d'apreciar el seu treball.
 
El [[1895]] i el [[1897]], Cantor va publicar un article en dues parts a ''[[Mathematische Annalen]]'' amb [[Felix Klein]] coma editor; aquests van ser els seus darrers articles significatius en teoria de conjunts. (La traducció anglesa és Cantor [[1955]].) El primer article comença definint el que és un [[conjunt]], [[subconjunt]], etc., en termes semblants als d'avui en dia. Els conceptes d'aritmètica [[nombre cardinal|cardinal]] i [[nombre ordinal|ordinal]] són revisats. Cantor volia incloure en el segon article una demostració de la [[Hipòtesi del continu]], però hagué de conformar-se exposant la seva teoria dels [[conjunt ben-ordenable|conjunts ben-ordenables]] i els [[nombre ordinal|nombres ordinals]]. Cantor intentà demostrar que si ''A'' i''B'' són conjunts amb ''A'' equipotent a un subconjunt de ''B'' i ''B'' és equipotent a un subconjunt de ''A'', aleshores ''A'' i ''B'' són equipotents. [[Ernst Schröder]] havia volgut demostrar aquest teorema una mica abans, però la seva demostració, com la de Cantor, tenia defectes. [[Felix Bernstein]] va proporcionar una demostració correcta l'any [[1898]]en la seva tesi de doctorat; d'aquí el nom del [[teorema de Schröder-Bernstein|teorema de Cantor-Schröder-Bernstein]].
20.142

modificacions