Integral de moviment: diferència entre les revisions

{{Equació|

<math> L (q, \dot{q}) = \frac{1}{2}(\dot{q}^2 - \omega^2 q^2), \qquad

\ddot{q}+\omega^2 q = 0 </math>

||Left}}

{{Equació|

<math> \begin{matrix}

\dot{q}\ddot{q}+\omega^2q \dot{q}= & \dot{q}(\ddot{q}+\omega^2q) = 0 \\

\frac{- \omega q \ddot{q}}{\dot{q}^2+\omega^2q^2}+\frac{\omega \dot{q}^2}{\dot{q}^2+\omega^2q^2}- \omega = & \omega \frac{\omega^2q^2+\dot{q}^2}{\dot{q}^2+\omega^2q^2}- \omega = 0 \\

\end{matrix}

Un exemple de la utilitat de les integrals el constitueixen els [[Mecànica hamiltoniana|sistemes hamiltonians]] conservatius d'un grau de llibertat. En aquests sistemes el principi de [[conservació de l'energia]] implica que l'[[hamiltonià]]s una integral de moviment que és funció algebraica de la posició i el moment conjugat, ja que es compleixen les equacions canòniques de Hamilton:

{{Equació|<math> \frac{dH (p, q)}{dt}=

És a dir, el valor de la hamiltoniana al llarg de les trajectòries roman constant, de fet, aquest valor és igual a l'energia '' I '' que és constant per a aquest sistema. Suposant que el hamiltonià té la forma típica, les equacions de moviment poden ser integrades mitjançant una quadratura:<ref> Landau & Lifshitz, 1991, p.29 </ref>

{{Equació|<math> E = \frac{1}{2}m \dot{q}^2+U (q) \Rightarrow \qquad

El coneixement d'algunes constants del moviment es pot aprofitar per integrar l'[[equació de Hamilton-Jacobi]]. Si es coneix una integral de moviment <math> \beta_i \, </math> llavors hi ha una coordenada [[moment conjugat|canònicament conjugada]] <math> \alpha_i \, </math> tal que l'[[acció (física)|acció]] satisfà que:

{{Equació|

||Left}}

Aquesta propietat permet definir una [[transformació canònica]] donada per una [[funció generatriu]], i formar un hamiltonià amb una variable menys, la qual cosa redueix en dos el nombre de [[Graus de llibertat (física)|graus de llibertat]] del sistema.