ZFC: diferència entre les revisions

La teoria axiomàtica de conjunts es desenvolupa en el marc de la [[lògica de primer ordre]], amb els seus símbols habituals de connectives ( <math>\andland, \orlor, \neg, \rightarrow, \leftrightarrow</math>) i de quantificadors ( <math> \forall, \exist</math> ), més el predicat d'igualtat (<math>=</math>) i una relació binària de pertinença (<math>\in</math>). Denotem amb majúscules els conjunts i amb minúscules els elements d'un conjunt (que, òbviament, poden ser altres conjunts). Existeixen diverses formalitzacions equivalents dels axiomes; seguim la proposada per Thomas Jech.{{sfn|Jech|2003|p= 3}}

:<math>\forall a \forall b \exist c \forall x (x \in c \leftrightarrow x=a \orlor x=b)</math>

Per l'axioma d'extensionalitat, el conjunt <math>c</math> és únic. D'altra banda, com que <math>\{ a,b \} = \{ b,a \}</math> podem definir també el ''parell ordenat'': <math>(a,b)</math> que satisfà la condició <math>(a,b)=(c,d) \leftrightarrow (a=c) \andland (b=d)</math>.{{sfn|Jech|2003|p= 7}} De la mateixa forma es poden definir [[n-pla|''n''-ples]], és a dir, triples, quadrúples, etc.

:<math>\forall X \forall p \exist Y \forall u(u \in Y \leftrightarrow u \in X \andland \phi (u,p))</math>

:<math>\forall X \exist Y \forall u(u \in Y \leftrightarrow \exist z (z \in X \andland u \in z))</math>

:<math>\exist S (\empty \in S \andland (\forall x \in S) x \cup \{ x \} \in S)</math>

:<math>\forall x \forall y \forall z(\phi (x,y,p) \andland \phi (x,z,p) \rightarrow y=z) \rightarrow \forall X \exist Y \forall y (y \in Y \leftrightarrow (\exist x \in X) \phi (x,y,p))</math>