Revisió del 13:19, 7 abr 2019 modifica Alvaro Vidal-Abarca (discussió \| contribucions) Autopatrullats 19.767 edits m →‎Bibliografia Etiquetes: Edita des de mòbil Edició web per a mòbils ← Edició anterior		Revisió del 06:50, 9 abr 2019 modifica desfés Alvaro Vidal-Abarca (discussió \| contribucions) Autopatrullats 19.767 edits m →‎Zeros d'una sèrie trigonomètrica Etiquetes: Edita des de mòbil edició a través de l'aplicació mòbil Android app edit Edició següent →
Línia 12: == Zeros d'una sèrie trigonomètrica == La unicitat i els zeros de les sèries trigonomètriques van ser ununa àrea molt activa de recerca al {{Segle\|XIX}} a Europa. Primer, [[Georg Cantor]] va demostrar que si una sèrie trigonomètrica és [[Sèrie convergent\|convergent]] cap a una funció ''f''(''x'') en l'interval {{Nowrap\|[0, 2π]}}, quan és idèntica a zero, o de forma més general, és no-nul·la en un conjunt finit de punts, llavors els coeficients de la sèrie són tots zero.<ref>{{Ref-llibre\|cognom=Kechris\|nom=Alexander S.\|títol=Set Theory And Uniqueness For Trigonometric Series\|url=http://www.math.caltech.edu/papers/uniqueness.pdf\|format=pdf\|edició=\|llengua=\|any=2001\|data=\|editorial=\|lloc=\|pàgines=\|isbn=}}</ref> Cinc-cents anys abans, els matemàtics de l'Índia, especialment els de l'escola de Kerala com [[Madhava de Sangamagrama]] i [[Nilakantha Somayaji]], ja havien creat les bases completes de la mateixa teoria.<ref name="roy">{{Ref-publicació\|cognom=Roy\|nom=Ranjan\|article=The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha\|publicació=Mathematics Magazine\|url=https://www.jstor.org/stable/2690896\|volum=63\|exemplar=5\|any=1990\|mes=desembre\|data=\|editorial=Mathematical Association of America\|pàgines=291-306\|doi=10.2307/2690896}}</ref> Més endavant [[Georg Cantor]] va demostrar que si el conjunt ''S'' (en el qual ''f'' és no-nul·la) és infinit, però el [[conjunt derivat]] ''S''' de ''S'' és finit, llavors els coeficients són tots zero.<ref group="nota>El conjunt derivat ''S{{'}}'' d'un subconjunt ''S'' d'un espai topològic és el conjunt de tots els [[Punt d'acumulació\|punts d'acumulació]] de ''S''.</ref> De fet, va demostrar un resultat més general. Sigui ''S''<sub>0</sub> = ''S'' i sigui ''S<sub>k</sub>''<sub>+1</sub> el conjunt derivat de ''S<sub>k</sub>''. Si hi ha un nombre finit ''n'' pel qual ''S<sub>n</sub>'' és finit, llavors tots els coeficients són zero. Posteriorment, Lebesgue va demostrar que si hi ha un [[nombre ordinal]] ''α'' infinit tal que ''S<sub>α</sub>'' és finit, llavors els coeficients de la sèrie són tots zero. El treball de Cantor sobre el famós problema de la unicitat de la sèrie li va portar al descobriment dels nombres ordinals [[Nombre transfinit\|transfinits]], que apareixen com els subíndexs ''α'' en ''S<sub>α</sub>''.<ref>{{Ref-publicació\|cognom=Cooke\|nom=Roger\|article=Uniqueness of Trigonometric Series and Descriptive Set Theory, 1870—1985\|publicació=Archive for History of Exact Sciences\|url=\|volum=45\|exemplar=4\|any=1993\|data=\|editorial=Springer\|pàgines=281-334\|doi=10.1007/BF01886630}}</ref>

Sèrie trigonomètrica: diferència entre les revisions