Teoria de conjunts: diferència entre les revisions

L'axioma d'elecció està, d'altra banda, molt vinculat a l'infinit matemàtic; en efecte, l'axioma d'elecció és ''intuïtivament'' verdader per a un nombre finit d'eleccions, i d'altra banda demostrable, en aquest cas, a partir dels altres axiomes de la teoria dels conjunts. Ara bé, al voltant del 1904, entrem de ple en la controvèrsia posada en marxa pel descobriment de les paradoxes.<ref>le paradoxe de Russell et d'autres, est paru dans les ''principles of mathematics'' du dit [[Bertrand Russell|Russell]] en 1903, le paradoxe de Richard est publié en 1905 ...</ref> Llavors, diverses concepcions de l'infinit matemàtic s'enfronten. Això arribarà, fins i tot, a qüestionar radicalment els fonaments de les matemàtiques per part de [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer]], fundador de l'[[intuïcionisme]], que descarta el [[principi del terç exclòs]], que se situa força més amunt de l'axioma d'elecció. Tanmateix, en aquell temps, certs matemàtics que no van tan lluny i accepten certes formes de raonament no constructiu, desconfien de l'axioma d'elecció. [[Emile Borel]] escriu el 1950:<ref>Préface de la 4ème édition des ''leçons sur la théorie des fonctions''</ref> És ja un resultat important obtingut pels adversaris de l'axioma de Zermelo que tots els que admeten aquest axioma prenen la cura, quan obtenen un teorema nou, d'especificar si la demostració d'aquest teorema exigeix o no la utilització de l'axioma de Zermelo. Aquest axioma ha creat així una branca separada de les matemàtiques; la importància i l'interès d'aquesta branca decidiran la seva sort. En tot cas, es pot dir que avui, vista justament la seva utilització en branques importants de les matemàtiques, l'axioma d'elecció és àmpliament acceptat.

 

 

D'altra banda, s'han identificat restriccions de l'axioma d'elecció, com l'axioma d'elecció enumerable (que permet, per exemple, demostrar que una reunió numerable de conjunts numerables és numerable); aquest mateix és conseqüència de l'axioma d'elecció depenent (que permet, per exemple, demostrar l'existència d'una successió infinita decreixent per a una [[relació ben fonamentada|relació no ben fonamentada]]). Així, [[Robert M. Solovay|Robert Solovay]] va publicar el 1970 la coherència de la teoria ZF + l'axioma d'elecció depenent + tot subconjunt dels reals és [[mesura de Lebesgue|Lebesgue-mesurable]], teoria que contradiu l'axioma d'elecció en tota la seva generalitat, relativament a la teoria ZF + existeix un cardinal inaccessible (un reforç de la teoria ZF que permet demostrar la coherència de ZF).<ref>Robert M. Solovay ''A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue mesurable'', Annals of Math. 92, 1970, pp 1-56.</ref> Tanmateix, l'axioma d'elecció enumerable és insuficient en geometria algebraica, ja que el tractament dels cossos algebraicament tancats requereix el [[lema de Zorn]], que és equivalent a l'axioma d'elecció; per tant, el teorema segons el qual tot cos pot ser submergit en un cos algebraicament tancat es basa en l'axioma d'elecció general.<ref>Ouvrage collectif ''Penser les mathématiques'' (séminaire de l'ENS) Editions du Seuil, Paris 1982 {{ISBN|2 02 006061 2}} note 7 p.35</ref>