|
[[Fitxer: Color parallelogram.svg|dreta|thumb|Un paral·lelogram. Els costats d'aquest es mostren en color blau i les diagonals en vermell.]]
En [[matemàtiques]], la''' llei del paral·lelogram '''és una llei de [[geometria]] elemental que postula que la suma dels quadrats de les longituds dels quatre costats d'un [[paral·lelogram]] és igual a la suma dels quadrats de les longituds de les dues [[diagonal]]s d'aquest. Utilitzant la notació del paral·lelogram mostrat en la figura de la dreta, es pot escriure matemàticament com:
: <math>(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2.\,</math>
En el cas que el paral·lelogram sigui un [[rectangle]], les dues diagonals són iguals i la llei es redueix al [[teorema de Pitàgores]].
== Llei del paral·lelogram per a espais amb producte intern ==
[[Fitxer:Parallelogram law.svg|thumb|Vectors involucrats en la llei del paral·lelogram]]
Dins dels [[Espai prehilbertià|espais proveïts de producte escalar]], la definició de la llei del paral·lelogram es redueix a la identitat algebraica
:<math>2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2</math>
on
:<math>\|x\|^2=\langle x, x\rangle.\,</math>
és el [[producte escalar]] normat.
==Espais vectorials normats que satisfan la llei del paral·lelogram ==
La majoria d'[[Espai vectorial normat|espais vectorials normats]] [[nombre real|reals]] i [[nombre complex|complexos]] no tenen [[producte intern]], però tots els espais vectorials normats tenen norma (per definició), i per tant es poden avaluar les expressions a banda i banda de l'"=" de la identitat anterior. Un fet notable és que si la identitat anterior es manté, aleshores la norma ha de sorgir de la manera habitual d'algun producte intern. A més, el producte intern que es genera mitjançant la norma és únic, com a conseqüència de la [[identitat de polarització]], en el cas real, aquest ve donat per
:<math>\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4},\,</math>
o, de manera equivalent, per
:<math>{\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\over 2} \ \ \rm{\acute{o}} \ \ {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\over 2}.\,</math>
En el cas complex, aquest ve donat per
:<math>\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}+i{\|ix-y\|^2-\|ix+y\|^2\over 4}.</math>
== Vegeu també ==
* [[Paral·lelogram]]
* [[Desigualtat triangular]]
== Enllaços externs ==
* [http://www.unlvkappasigma.com/parallelogram_law/The Parallelogram Law Proven Simply] a [http://www.unlvkappasigma.com/UNLV Kappa Sigma]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParallelogramIdentity.shtml The Parallelogram Law: A Proof Without Words] A'' cut-the-Knot ''
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=ProofOfParallelogramLaw2 Proof of Parallelogram Law] a [http://planetmath.org/Planet Math]
* {{MathWorld|urlname = ParallelogramLaw|title = Parallelogram Law}}<!--ORDENA generat per bot-->
{{ORDENA:Llei Del Parallelogram}}
[[Categoria:Geometria]]
| 