Diferència entre revisions de la pàgina «Binomi de Newton»

com a
(com a)
<math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}, \quad\quad\quad\quad\quad (1)</math>
 
on el [[coeficient binomial]] <math> {n \choose k}</math> és el nombre combinatori definit com a <math> {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>, que es llegeix "<math>n</math> ''sobre'' <math>k</math>". El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb <math>n</math> creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenat [[Triangle de Tartaglia]], Triangle de Pascal o Triangle aritmètic.
 
Exemples:
* per <math>n=3</math> : <math>(a+b)^3= {3 \choose 0}a^3 + {3 \choose 1}a^2 b + {3 \choose 2}a b^2 + {3 \choose 3} b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3 </math>
* <math>12^3=(10+2)^3=10^3+3\ 10^2\ 2+3\ 10\ 2^2+2^3=1000+600+120+8=1728</math>
Quan tenim <math>(a-b)^n</math>, n'hi ha prou amb escriure-ho com a <math>(a+(-b))^n</math>, amb el que s'obté <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>, <math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math> i, en general,
 
<math>{(a-b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math>.
 
La fórmula és molt anterior a Newton. La seva història pot trobar-se a l'article ''Potència d'un Binomi'' de R. Nolla esmentat més avall com a Enllaçenllaç extern.
 
== Demostració ==
 
== La sèrie binomial ==
Si escrivim <math>(a+b)^n=a^n(1+\frac{b}{a})^n </math> podem anomenar <math>x=\frac{b}{a}</math> i escriure <math>\alpha</math> en lloc de <math>n</math>. La funció <math>f(x)=(1+x)^\alpha</math>rep el nom de funció binomial i té sentit també si <math>\alpha</math> és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de <math>\alpha</math>, i es coneix com a sèrie binomial o expansió binomial.<ref>{{Ref-llibre|cognom=M. Abramowitz; I. A. Stegun (eds.)|nom=|títol=Handbook of Mathematical Functions: with formulas, graphs, and mathematical tables|url=people.math.sfu.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf|edició=|llengua=anglès|data=1970|editorial=Dover|lloc=|pàgines=|isbn=0486612724}}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom=F.W.J. Oliver, et al. (eds.)|nom=|títol=NIST Handbook of Mathematical functions|url=|edició=|llengua=|data=2010|editorial=Cambridge University Press|lloc=Cambridge|pàgines=|isbn=9780521140638}}</ref> Aquesta generalitza el Binomi de Newton <math>(1)</math>, que és el cas en què <math>\alpha</math> és un nombre natural.
 
<math>\begin{align} (1 + x)^\alpha &= \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots, \end{align}</math>
A les demostracions anteriors es veu que és essencial la propietat commutativa <math>ab=ba</math>. Si, per exemple, <math>A</math> i <math>B</math> fossin dues matrius que no commutessin, aleshores tindríem simplement <math>(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2</math> o <math>(A+B)^3=A^3+A^2B+ABA+BA^2+AB^2+BAB+B^2A+B^3</math>.
 
El Binomi de Newton és molt útil per al càlcul mental. Per exemple, calcular <math>21^4</math> és molt fàcil si s'escriu com a <math>(20+1)^4</math>.
 
Observi's que la suma dels coeficients binomials del binomi de grau <math>n</math> és igual a <math>2^n</math>i la suma dels coeficients que jauen en els llocs senars coincideix amb la suma dels que jauen en els llocs parells.
12.228

modificacions