Funció trigonomètrica: diferència entre les revisions

=== Basant-se en la circumferència goniomètrica ===

[[Fitxer:Unit circle.svg|thumb|El sinus i el cosinus d'un angle ''t'' es defineixen respectivament com el valor de la coordenada ''y'' i la coordenada ''x'' del punt on la circumferència de radi unitat interseca el radi girat un angle ''t'' respecte de l'eix ''x'' positiu.]]

 

Les sis funcions trigonomètriques també es poden definir en base la [[circumferència goniomètrica]], la [[circumferència]] de radi unitat el centre de la qual és l'origen d'un sistema de [[coordenades cartesianes]]. La circumferència goniomètrica aporta poc en el camí cap als càlculs pràctics, si no que es recolza en els triangles rectangles per a la majoria d'angles. En canvi, la definició basada en la circumferència goniomètrica, permet la definició de les funcions trigonomètriques per a tots els arguments reals, tant positius com negatius, no només per a angles entre 0 i π/2 radiants. També dóna una imatge visual única que conté de cop tots els angles rellevants. A partir del [[Teorema de Pitàgores]] l'equació de la circumferència de radi unitat centrada a l'origen és:

Observant la figura de la dreta. Sia una segment de línia recta que va de l'origen fins a la circumferència goniomètrica i forma un angle positiu ''t'' amb la meitat positiva de l'eix ''x''. Les coordenades ''x'' i ''y'' de l'extrem d'aquest segment que toca la circumferència goniomètrica són, respectivament, el cos ''t'' i el sin ''t''.<ref>[http://books.google.cat/books?id=im-x_vl6gnsC&pg=PA444&lpg=PA444&dq=%22funci%C3%B3+sinus%22&source=bl&ots=i2BvNfjrWG&sig=lASjbN1WZ0iy-iHO2e0CPyO6AUQ&hl=ca&ei=mJbdSYWUKKHUjAeJ_rCnDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8#PPA437,M1 Càlculus] A la pàgina 437 hi ha la definició del sinus i el cosinus basant-se en la circumferència goniomètrica.</ref> Traçant una perpendicular a l'eix ''x'' que passi per l'extrem del segment s'obté un triangle rectangle format pel segment, aquesta perpendicular i l'eix x. Aquest triangle rectangle permet comprovar que pels angles del primer quadrant la definició coincideix amb la definició basada en el triangle rectangle. Com que el radi del cercle és igual a la hipotenusa i té longitud 1, resulta que sin θ = ''y''/1 i cos θ = ''x''/1. La circumferència goniomètrica, es pot entendre com una forma de representar un nombre infinit de triangles rectangles, en els que varien les longituds dels catets, però que la longitud de la hipotenusa es conserva constant igual a 1.

 

 

Per angles més grans que π/2 i més petits que π la coordenada ''x'' del punt passa a ser negativa i la coordenada ''y'' és la mateixa que la del triangle obtingut per simetria especular respecte de l'eix vertical, per tant per a aquests angles la definició basant-se en la circumferència goniomètrica és el mateix que estendre la definició en base al triangle rectangle imposant les següents identitats:

 

=== Basant-se en sèries ===

 

Fent servir només geometria i les propietats dels [[límit d'una funció|límits]], es pot demostrar que, la [[derivada]] del sinus és el cosinus i la derivada del cosinus és menys el sinus (sempre que els angles es mesurin en [[Radiant (angle)|radiant]]s, vegeu [[derivació de les funcions trigonomètriques]]). Llavors es pot fer servir la teoria de les [[sèrie de Taylor|sèries de Taylor]] per demostrar que les següents identitats es donen per a tots els [[nombres reals]] ''x'':<ref>Vegeu Lars Ahlfors, pàgines 43–44.</ref>