Diferència entre revisions de la pàgina «Distribució exponencial»

m
Afegida la propietat de falta de memòria i canviat l'exemple
(ortografia)
m (Afegida la propietat de falta de memòria i canviat l'exemple)
 
La seva [[funció de distribució]] és:
 
<math>
F(x)= P(X \le x)=\left\{\begin{matrix}
\end{matrix}\right.
</math>
 
on <math> e </math> representa el [[nombre e]].
 
L'esperança iQuan la [[variància]] d'una [[variable aleatòria]] X ambaquesta distribució es diu que és una '''variable exponencial de paràmetre λ>0 són:'''.
 
L'[[Esperança matemàtica|esperança]] i la [[variància]] d'una [[variable aleatòria]] X exponencial de paràmetre λ>0 són:
 
*<math> E [X] = \frac{1}{\lambda}.</math>
*<math> V (X) = \frac{1}{\lambda^2}.</math>
 
== Falta de memòria o no envelliment ==
 
Una propietat molt important de la distribució exponencial és que '''no té memòria''' <ref>{{Ref-llibre|cognom=deGroot, Morris H|nom=|títol=Probabilidad y Estadística|url=|edició=|data=1988|editorial=Addison-Wesley Iberoamericana|lloc=|pàgines=276|isbn=|llengua=}}</ref>: Si <math> X </math> és una variable aleatòria exponencial de paràmetre λ>0, aleshores, per qualsevol <math> s,\, t \ge 0 </math>, tenim
 
<math>
P(X>s+t \, | X>s)=P(X>t).
</math>
 
És a dir, si <math> X </math> representa el temps (mesurat en segons) que un sistema funciona fins que s'espatlla, si el sistema després de <math>s</math> segons està en funcionament, aleshores la probabilitat que funcioni després de <math>t</math> segons més (probabilitat a l'esquerra de la fórmula anterior), és la mateixa que si el sistema comencés a funcionar de nou (probabilitat de la dreta).
 
Per demostrar aquesta propietat primer es calcula <math>P(X>a)</math> per un nombre qualsevol <math>a\ge 0</math>: D'acord amb les propietats de les variables aleatòries amb [[funció de densitat]],
 
<math>P(X>a)=\int_a^\infty \lambda e^{-\lambda x}\, dx=e^{-\lambda a}.</math>
 
Aleshores, per la definició de probabilitat condicionada,<math>P(X>s+t \, | X>s)=\dfrac{P(X>s+t,X>s)}{P(X>s)}=\dfrac{P(X>s+t)}{(P(X>s)}=\dfrac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t).</math>
 
Aquesta propietat caracteritza les variables aleatòries contínues sense memòria, és a dir, si una variable aleatòria contínua no té memòria, aleshores necessàriament té una distribució exponencial <ref>{{Ref-llibre|cognom=Feller, William|nom=|títol=Introducción a teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen I|url=|edició=|llengua=|data=1973|editorial=Limusa-Wiley|lloc=|pàgines=455|isbn=}}</ref> .
 
== Exemple ==
 
Un exemple de la distribució exponencial és la distribució de la longitud dels intervals de variable contínua que transcorre entre l'ocurrència de dos successos "rars", que es distribueixen segons la distribució de Poisson.
La propietat anterior fa que la distribució exponencial sigui un bon model per al temps de vida (o durada) d'un sistema que no envelleix. Per exemple si una nau espacial porta 3 anys a l'espai, la probabilitat que xoqui amb un meteorit el proper any és exactament la mateixa que si la nau sortís en aquest moment de la terra. Això es degut a que el xoc amb un meteorit és tan purament accidental, que no importa el temps que es porti viatjant, només que encara està viatjant. Realment a la natura no hi ha fenòmens sense envelliment, però durant un cert període de temps, molts sistemes (per exemple electrònics) gaudeixen d'aquesta propietat.
 
== Relació amb una variable uniforme ==
Una [[variable aleatòria]] amb distribució exponencial <math> X </math> de paràmetre λ>0 està relacionada amb una variable [[Distribució uniforme contínua|amb distribució uniforme]] <math> U \sim U (0,1) </math> per la fórmula
 
:<math> X =- \frac{\ln U}{\lambda}.</math>
 
== Relació amb k les variables aleatòries gamma ==
LaUna sumavariable dealeatòria <math> k </math> variables aleatòries independentsexponencial de distribució exponencial amb paràmetre <math'''λ>0 \lambda </math>''' és una variable aleatòria deamb [[distribució gamma]] <math>G(1,1/\lambda)</math>.
 
La suma de <math> k </math> variables aleatòries independents de distribució exponencial amb paràmetre <math> \lambda </math> és una variable aleatòria de [[distribució gamma]] <math>G(k,1/\lambda)</math>.
 
== Vegeu també ==
431

modificacions