Integració numèrica: diferència entre les revisions

 

Hi ha una extensa família de mètodes que es basen a aproximar la funció a integrar <math>f(x)</math> per una altra funció <math>g(x)</math> de la qual es coneix la integral exacta. La funció que substitueix l'original es troba de forma que, en un cert nombre de punts tingui el mateix valor que l'original. Com que els punts extrems formen part sempre d'aquest conjunt de punts, de la nova funció se'n diu una [[interpolació (matemàtiques)|interpolació]] de la funció original. (quan els punts extrems no es fan servir per trobar la funció que substitueix l'original llavors se'n diu [[extrapolació (matemàtiques)|extrapolació)]]. Típicament aquestes funcions són [[polinomi]]s.

El mètode més senzill d'aquesta classe és el de fer que la funció d'interpolació sigui una funció constant (un polinomi de grau zero) que passa pel punt ((''a''+''b'')/2, ''f''((''a''+''b'')/2)). D'aquest mètode se'n diu el ''mètode del punt mitjà'' o el ''[[mètode rectangular]]''.

 

& \int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx\approx }\int_{a}^{b}{g\left( x \right)dx=\left( b-a \right)}f\left( \frac{a+b}{2} \right) \\

\end{align}</math>

La funció d'interpolació pot ser també una [[funció afí]] (un polinomi de grau 1)

Que passa pels punts extrems (''a'', ''f''(''a'')) and (''b'', ''f''(''b'')).

:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx (b-a) \, \frac{f(a) + f(b)}{2}.</math>

 

Per a cada un d'aquests mètodes, es pot aconseguir una aproximació més exacta a base de trencar l'interval [''a'', ''b''] en ''n'' subintervals, calculant una aproximació per cada un dels subintervals, i després sumant tots els resultats (si l'amplada de l'interval és constant es pot treure factor comú de l'amplada de l'interval i multiplicar al final, d'aquesta forma es redueix el nombre d'operacions). D'això se'n diu un ''mètode compost'', ''mètode estes'', or ''mètode iterat''. Per exemple, el mètode trapezial compost es pot establir com