Problema d'Apol·loni: diferència entre les revisions

En [[geometria euclidiana|geometria plana euclidiana]], el '''problema d'Apol·loni''' consisteix a construir [[circumferències]] que siguin [[tangents]] a tres circumferències donades. [[Apol·loni de Perge]] (ca. 262 {{nowrap|BC – ca.}} 190 BC) proposà i resolgué aquest problema famós a l'obra {{lang|el| Ἐπαφαί}} (''{{lang|el-Latn|Epaphaí}}'', "Tangències"); l'obra s'ha perdut, però s'ha conservat una referència dels resultats feta el segle IV per [[Pappos d'Alexandria]]. Excloent les famílies de posicions particulars que tenen infinites solucions, les que no en tenen cap, i les famílies de posicions que, per simetria, tenen algunes solucions equivalents o impossibles, la resolució general del problema proveeix vuit circumferències diferents que són tangents a les circumferències donades. Hi ha dues solucions per cada manera de separar les circumferències donades en dos subconjunts, que fan un total de vuit solucions (hi ha quatre maneres de separar un conjunt de tres elements en dos subconjunts).

 

== Mètodes de resolució ==

=== Hipèrboles secants ===

 

La resolució d'[[Adriaan van Roomen]] (1596) està basada en la intersecció de dues [[hipèrboles]].<ref name="van_roomen_1596"/><ref name="van roomen by newton"/> Siguin les circumferències donades ''C''₁, ''C''₂ i ''C''₃. Van Roomen trobà la solució del problema general a través de la resolució d'un problema més senzill, consistent en trobar les circumferències que són tangents a ''dues'' circumferències donades, com ara bé ''C''₁ i ''C''₂. S'adonà que el centre d'una circumferència tangent a les dues circumferències donades havia d'estar situat en una [[hipèrbola]] els focus de la qual eren els centres de les circumferències donades. Per entendre-ho, anomenem els radis de la circumferència resolutòria i de les dues circumferències donades ''r''_''s'', ''r''_''1'' i ''r''_''2'', respectivament. La distància ''d''₁ entre el centre de la circumferència resolutòria i el de ''C''₁ pot ser {{nowrap|''r''_''s'' + ''r''_''1''}} o bé {{nowrap|''r''_''s'' − ''r''_''1''}}, depenent de si s'escull que aquestes circumferències siguin tangents externament o internament, respectivament. De la mateixa manera, la distància ''d''₂ entre el centre de la circumferència resolutòria i el de ''C''₂ pot ser {{nowrap|''r''_''s'' + ''r''_''2''}} o bé {{nowrap|''r''_''s'' − ''r''_''2''}}, una altra vegada depenent del tipus de tangència escollit. Per tant, la diferència {{nowrap|''d''₁ − ''d''₂}} entre aquestes distàncies sempre és una constant que és independent de ''r''_''s''. Aquesta propietat, tenir una diferència fixa entre les distàncies al [[focus (geometria)|focus]], caracteritza les hipèrboles, i per aquesta raó els possibles centres d'una circumferència resolutòria han de pertànyer a la hipèrbola. Es pot crear una segona hipèrbola per la parella de circumferències donades ''C''₂ i ''C''₃, per la qual s'ha de triar la tangència externa o interna entre ''C''₂ i la circumferència resolutòria de manera consistent amb la primera hipèrbola. Una intersecció d'aquestes dues hipèrboles (si existeix) dóna el centre d'una circumferència resolutòria que té les tangències internes i externes escollides a les tres circumferències donades. El conjunt complet de solucions al problema d'Apol·loni es troba quan es consideren totes les combinacions possibles de tangències internes i externes de la circumferència resolutòria a les tres circumferències donades.

=== Reconstrucció de Viète ===

Tal com s'explica [[#Casos especials|més avall]], el problema d'Apol·loni té deu casos especials, depenent de la naturalesa dels tres objectes donats, que poden ser circumferències ('''C'''), rectes ('''R''') o punts ('''P'''). Habitualment, aquests deu casos es classifiquen amb un codi de tres lletres com podria ser '''CCP'''.<ref name="special cases" /> Viète resolgué tots deu casos fent servir tan sols construccions amb regle i compàs, i va utilitzar les resolucions dels casos més senzills per aconseguir resoldre els més complicats.<ref name="Dörrie 1965"/><ref name="viete_1970"/>

 

Viète començà resolent el cas '''PPP''' (tres punts) seguint el mètode d'[[Euclides]] que s'exposa als ''[[Elements d'Euclides|Elements]]''. A partir d'aquí, en derivà un [[Lema (matemàtiques)|lema]] corresponent al teorema de la [[potència d'un punt]], que utilitzà per resoldre el cas '''RPP''' (una recta i dos punts). Seguint Euclides una segona vegada, Viète resolgué el cas '''RRR''' (tres rectes) utilitzant el [[teorema de la bisectriu]]. Després obtingué un lema per construir la recta perpendicular a una [[bisectriu]] que passa per un punt, que utilitzà per resoldre el problema '''RRP''' (dues rectes i un punt). Així ja havia resolt els quatre primers casos del problema d'Apol·loni, els que no contenen circumferències.

 

=== Parelles de solucions per inversió ===

Les solucions del problema d'Apol·loni apareixen sovint en parelles; per cada circumferència resolutòria, existeix una circumferència resolutòria conjugada.<ref name="Dörrie 1965"/> Una circumferència resolutòria conté les circumferències donades que la conjugada no conté, i viceversa. Per exemple, a la il·lustració de la dreta, una circumferència resolutòria (rosa, a dalt a l'esquerra) conté dues circumferències donades (negres), però no en conté una tercera; al contrari, la solució conjugada (també rosa, a baix a la dreta) conté la tercera circumferència donada, però no conté les altres dues. Les dues circumferències resolutòries conjugades estan relacionades per la [[geometria inversiva|inversió]], tal com s'explica a continuació.

 

 

=== Resolució de Gergonne ===

 

L'enfocament de Gergonne considera les circumferències resolutòries en parelles.<ref name="Dörrie 1965"/> Siguin ''C''_A i ''C''_B una parella de circumferències resolutòries i siguin '''A'''₁, '''A'''₂, '''A'''₃, i '''B'''₁, '''B'''₂, '''B'''₃, els seus punts de tangència amb les tres circumferències donades, amb l'ordre que correspon. La resolució de Gergonne té com a objectiu localitzar aquests sis punts, i així trobar les circumferències resolutòries.

 

=== Nombre de solucions ===

 

El problema consistent a comptar el nombre de solucions de diferents tipus de problemes d'Apol·loni pertany al camp de la [[geometria enumerativa]].<ref name="bruen_1983"/><ref name="dreschler sterz">{{ref-publicació|publicació=Acta Mathematica Universitatis Comenianae|volum=68|exemplar=1|any=1999|pàgines=37–47|títol=Apollonius' contact problem in ''n''-space in view of enumerative geometry|autor= Dreschler, K; Sterz, U|url=http://www.emis.de/journals/AMUC/_vol-68/_no_1/_drechsl/drechsle.html}} {{en}}</ref> El nombre de solucions general per cadascun dels deu tipus de problema d'Apol·loni es mostra a la Taula 1 superior. Tot i així, algunes disposicions especials dels objectes donats poden fer canviar el nombre de solucions. Per exemple, com es mostra a la il·lustració de la dreta, el problema d'Apol·loni no té solució si una circumferència en conté una altra, ja que per tocar la circumferència interna és necessari tallar l'externa, però la circumferència resolutòria no pot tallar una circumferència i ser-hi alhora tangent. D'altra banda, si les tres circumferències donades són tangents en el mateix punt, llavors ''qualsevol'' circumferència tangent al mateix punt és resolutòria; aquest tipus de problema d'Apol·loni tenen infinites solucions. Si les tres circumferències donades són idèntiques, existeixen també un nombre infinit de solucions. Si només dues de les circumferències donades són idèntiques, només hi ha dues circumferències diferents; els centres de les infinites circumferències resolutòries formen una [[hipèrbola]], la qual cosa s'utilitza en [[#Hipèrboles secants|un tipus de resolució]] del problema d'Apol·loni.