Esperança matemàtica: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Incorporació d'un exemple d'esperança condicionada per a variables discretes |
m Completar una demostració de l'esperança condicionada. Afegir referències bibliogràfiques |
||
Línia 221:
'''Cas general'''
Donades dues [[variable aleatòria discreta|variables aleatòries discretes]], <math>X</math> que pot prendre els valors <math>x_1,x_2,\dots,</math> i que té esperança, i <math>Y</math> que pot prendre els valors <math>y_1,y_2,\dots</math> (suposem que <math>P(Y=y_j)>0, j=1,2,\dots</math>) definim l''''esperança de <math>X</math>condicionada''' <ref name=":1">{{Ref-llibre|edició=Dover ed|títol=Basic probability theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/190785258|editorial=Dover Publications|data=2008|lloc=Mineola, N.Y.|isbn=9780486466286|cognom=Ash, Robert B.}}</ref> '''per <math>Y=y_j</math>'''
:<math display="block"> \operatorname{E}(X|Y=y_j) = \sum\limits_i x_i \cdot \operatorname{P}(X=x_i|Y=y_j).</math>
Línia 237:
\sum\limits_j \operatorname{E}(X|Y=y_j) \cdot \operatorname{P}(Y=y_j) \,</math><math>=\sum\limits_j \left( \sum\limits_i x_i \cdot \operatorname{P}(X=x_i|Y=y_j) \right) \cdot \operatorname{P}(Y=y_j)\, </math><math>=\sum\limits_j \sum\limits_i x_i \cdot \operatorname{P}(X=x_i|Y=y_j) \cdot \operatorname{P}(Y=y_j)\, </math><math>=\sum\limits_j \sum\limits_i x_i \cdot \operatorname{P}(Y=y_j|X=x_i) \cdot \operatorname{P}(X=x_i) \, </math>
:<math>=\sum\limits_i x_i \cdot \operatorname{P}(X=x_i) \cdot \left( \sum\limits_j \operatorname{P}(Y=y_j|X=x_i) \right) \, </math><math>=\sum\limits_i x_i \cdot \operatorname{P}(X=x_i) \, </math><math>=\operatorname{E}(X)
on hem utilitzat que del fet que <math>X</math> té esperança es dedueix que les [[sèrie doble]] que apareix és absolutament convergent i, per tant, es poden commutar els sumatoris <ref>{{Ref-llibre|cognom=Apostol, Tom M.|nom=|títol=Análisis matemático|url=|edició=|llengua=|data=1960|editorial=Editorial Reverté, S. A.|lloc=|pàgines=p. 356|isbn=}}</ref>, i que <math display="block">\sum_jP(Y=y_j|X=x_i)=P(Y\in\mathbb{R}|X=x_i)=1.</math>
Equivalentment podem escriure
:<math display="block">\operatorname{E}(X)=\operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right).</math>
'''Comentari.''' L'esperança condicionada ens dóna el valor de l'esperança de <math>X</math> segons els valors d'<math>Y</math>. En Estadística, l'esperança condicionada correspon a la idea de calcular la mitjana d'una població per estrats; per exemple, si estem analitzant les alçades d'una població que tenim dividida en homes i dones (els estrats), podem calcular la mitjana per als homes i per a les dones.▼
▲'''Comentari.''' L'esperança condicionada ens dóna el valor de l'esperança de <math>X</math> segons els valors d'<math>Y</math>. En Estadística, l'esperança condicionada correspon a la idea de calcular la mitjana d'una població per estrats; per exemple, si estem analitzant les alçades d'una població que tenim dividida en homes i dones (els estrats), podem calcular la mitjana per als homes i per a les dones. Si calculem la mitjana de les mitjanes, ponderades segons la importància dels estrats obtindrem la mitjana de tota la població, que és el que diu la fórmula de l'esperança total.
====Esperança iterada per a variables aleatòries qualssevol ====
| |||