Diferència entre revisions de la pàgina «Robot articulat»

3.695 bytes afegits ,  fa 2 mesos
cap resum d'edició
 
On <math>q=[\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}]^T</math>. Com que z<sub>3</sub> està alineat amb z<sub>2</sub>, el sistema de coordenades 3 no coincideix amb un possible sistema de coordenades d'un [[Terminal (robòtica)|terminal]] i per instal·lar-ne un s'ha d'aplicar una transformació.{{sfn|Siciliano|Sciavicco|Villani|Oriolo|2009|p=74}}
 
Per altra banda, la [[cinemàtica inversa]] calcula a quins angles han de ser les articulacions per assolir una posició del [[Terminal (robòtica)|terminal]] concreta. En aquest cas es té una posició qualsevol del terminal, <math>O_3=[x_3,y_3,z_3]</math>, i s'han de determinar els angles de les articulacions, <math>\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}</math>, necessaris per assolir aquesta posició.
 
Aquest problema es pot resoldre amb el mètode geomètric. Si es referencia la cinemàtica a la base fixa es pot trobar immediatament l'angle <math>\theta_{1}</math> necessari:{{sfn|Barrientos|Peñín|Balaguer|Santoja|2007|p=110}}
 
<math>\theta_{1}=atan2(y_3,x_3)</math>
 
Per altra banda, considerant solament els elements 2 i 3 situats en un pla com el que es pot veure a la figura adjacent, es pot emprar el [[teorema de Pitàgores]] i el [[teorema del cosinus]] per determinar els angles restants.
 
[[Fitxer:Braç robot antropomòrfic.svg|miniatura|Dues disposicions diferents dels elements 2 i 3 d'un braç articulat que compleixen la cinemàtica inversa.]]
 
<math>\begin{cases} r^2 = x_{3}^2 + y_{3}^2 \\ r^2 + z_{3}^2 = a_{2}^2 + a_{3}^2 + 2a_{2}a_{3}cos(\theta_{3}) \end{cases}</math>
 
D'aquest sistema de dues equacions amb dues incògnites, <math>r</math> i <math>\theta_{3}</math>, es pot aïllar <math>\theta_{3}</math> com:
 
<math> cos(\theta_{3}) = \frac{x_{3}^2+y_{3}^2+z_{3}^2-a_{2}^2-a_{3}^2}{2a_{2}a_{3}}</math>
 
Aquesta expressió permet obtenir el valor de l'angle de la tercera articulació en funció del vector de posició del terminal. Tot i això, per motius computacionals, és preferible formular aquesta expressió amb l'arctangent abans que amb l'arccosinus. Aquest canvi es pot desenvolupar de la següent manera:{{sfn|Barrientos|Peñín|Balaguer|Santoja|2007|p=111}}
 
<math>sin(\theta_{3})=\pm\sqrt{1-cos^2(\theta_{3})}</math>
 
<math>\theta_{3} = atan2 \left ( \frac{\pm\sqrt{1-cos^2(\theta_{3})}}{cos(\theta_{3})} \right ) </math>
 
A on <math>cos(\theta_{3})</math> és l'expressió que s'ha trobat prèviament. Com es pot veure, existeixen dues solucions possibles per <math>\theta_{3}</math> segons el símbol de l'arrel quadrada que s'usi. Aquestes dues solucions es corresponen a les configuracions colze amunt o colze avall, que es poden veure a la imatge adjunta prèviament.
 
Amb l'angle de l'articulació 3 definida, ja només queda determinar l'angle de la segona articulació. Aquest valor es pot trobar mitjançant la diferència entre <math>\alpha</math> i <math>\beta</math>, il·lustrades a la figura prèvia:{{sfn|Barrientos|Peñín|Balaguer|Santoja|2007|p=112}}
 
<math>\theta_{2} = \beta - \alpha</math>
 
<math>\beta = atan \left( \frac{z_3}{r} \right ) = atan \left ( \frac{z_3}{\pm\sqrt{x_{3}^2+y_{3}^2}} \right )</math>
 
<math>\alpha = atan \left( \frac{a_3 sin(\theta_{3})}{a_2+a_3cos(\theta_{3})} \right )</math>
 
I així, finalment:
 
<math>\theta_{2} = atan \left ( \frac{z_3}{\pm\sqrt{x_{3}^2+y_{3}^2}} \right ) - atan \left( \frac{a_3 sin(\theta_{3})}{a_2+a_3cos(\theta_{3})} \right )</math>
 
Les dues possibilitats, segons la tria del signe de l'arrel quadrada, tornen a correspondre's amb les dues configuracions colze amunt i colze avall. Així doncs, resolent les tres equacions plantejades, es poden trobar els angles necessaris per moure's a una posició determinada de l'espai.
 
== Referències ==
 
== Bibliografia ==
* {{citar ref |cognom = Barrientos |nom = Antonio |cognom2 = Peñín |nom2 = Luis Felipe |cognom3 = Balaguer |nom3 = Carlos |cognom4 = Santoja |nom4 = Rafael Aracil |títol = Fundamentos de robótica |editorial = McGraw-Hill Interamericana de España |lloc = |data = 2007 |pàgines = 512 |url = |consulta = 23 gener 2017 |isbn = 978-8448156367}}
* {{citar ref |cognom = Blas i Abante |nom = Marta |cognom2 = Mateu i Martínez |nom2 = M. Rosa |cognom3 = Picó i Garcia |nom3 = Rosa Maria |cognom4 = Riba i Romeva |nom4 = Carles |títol = Diccionari de robòtica industrial |editorial = Servei de Llengües i Terminologia de la UPC |data = 1991 |pàgines = 18 |url = https://www.upc.edu/slt/ca/terminologia-upc/vocabularis/robot.pdf |consulta = 15 setembre 2019}}
* {{citar ref |cognom = Riba i Romeva |nom = Carles |títol = Els robots industrials I. Característiques |editorial = Edicions UPC |data = 1998 |pàgines = 76 |url = https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.3/36328/9788498801033.pdf?sequence=2&isAllowed=y |consulta = 15 setembre 2019}}
2.754

modificacions