Nombre perfecte: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Plantilla |
m +refs |
||
Línia 2:
Un '''nombre perfecte''' és un [[nombre enter|enter]] que és igual a la suma dels seus divisors positius, excepte ell mateix. Així, 6 és un nombre perfecte, perquè els seus divisors propis són 1, 2 i 3, i 6 = 1 + 2 + 3.<ref>{{ref-llibre |cognom=Corbalán Yuste |nom=F. et al. |títol=Gamma 2 : matemàtiques : Educació Secundària, segon curs |pàgines=8 |lloc=Barcelona |editorial=Vicens Vives |any=2003 |isbn=84-316-6978-2 |edició=1a.}}</ref> Els següents nombres perfectes són 28, 496 i 8.128.
Els nombres perfectes estan relacionats amb els [[Nombre primer de Mersenne|nombres primers de Mersenne]]: si ''M'' és un [[Nombre primer de Mersenne|primer de Mersenne]] (un nombre primer que és una unitat menor que una potència de 2), aleshores ''M''(''M''+1)/2 és un nombre perfecte, és a dir, que 2<sup>''n''−1</sup>(2<sup>''n''</sup> − 1) és un nombre perfecte. Això va ser demostrat per [[Euclides]]<ref name="Gardner">{{ref-llibre|títol=Festival mágico-matemático|nom=Martin|cognom=Gardner|enllaçautor=Martin Gardner|isbn=978-84-8181-315-6|editorial=Alianza Editorial|edició=2a|any=2018|lloc=Madrid|pàgina=208|capítol=11. Perfectos, amigos y sociables|llengua=espanyol|consulta=22-02-2020}}</ref> en el segle IV abans de la nostra era:
:per a ''n'' = 2: 2<sup>1</sup>(2<sup>2</sup> − 1) = 6
Línia 9:
:per a ''n'' = 7: 2<sup>6</sup>(2<sup>7</sup> − 1) = 8128
A més, [[Leonhard Euler|Euler]] va demostrar en el {{segle|XVIII|s}} que tots els nombres perfectes parells són d'aquesta forma.<ref name="Gardner" /> També està demostrat que l'última xifra de qualsevol nombre perfecte parell ha de ser 6 o 8.
No es coneix l'existència de nombres perfectes senars. No obstant això, existeixen alguns resultats parcials: si hi ha un nombre perfecte imparell, ha de complir, entre d'altres, les condicions següents: ser major que 10<sup>300</sup>; tenir almenys 8 factors primers diferents (i com a mínim 11 si no és divisible per 3); un d'aquests factors ha de ser major que 10<sup>7</sup>, dos d'aquests han de ser majors que 10.000 i tres han ser majors que 100; tenir, com a mínim, 75 factors primers (incloent-hi repeticions).
Línia 20:
Es pot dir que el nombre perfecte és un nombre amic de si mateix.
== Implementació en informàtica ==
| |||