Corba de Peano: diferència entre les revisions

Una '''corba de Peano''' és una [[corba plana]] [[Parametrització|parametritzada]] per una [[funció contínua]] de l'interval unitat [0, 1], [[Funció exhaustiva|exhaustiva]] cap al quadrat [0, 1]×[0, 1], és- a- dir que la corba passa per cada punt del quadratpla: « omple l'espai ». Totes aquestes corbes són [[Fractal|fractals]]: encaratot i que estan formades per una línia, sónla deseva [[Dimensiódimensió de Hausdorff-Besicovich|dimensió]] és 2. Aquest tipus de corbes s'anomenen així en l'honor deal matemàtic [[Giuseppe Peano]], que va ser el primer a descriure'n una.

En un article de 1890, [[Giuseppe Peano]] descriu una corba auto-intersectant que passa per tots els punts de la superfície del quadrat unitat.<ref name="GP">{{Ref-publicació|nom = G. Peano|titre = Sur une courbe, qui remplit une aire plane|publicació = [[Mathematische Annalen|Math. Ann.]]|volum= 36|pàgines= 157-160|année = 1890|url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002252376}}</ref> El seu objectiu és construir una aplicació des de l'interval unitat definit sobre <math>\scriptstyle{\R}</math> vers el quadrat unitat definit sobre <math>\scriptstyle{\R^2}</math>. Il·lustra així un resultat de [[Georg Cantor]] del 1877 que estableix que el conjunt dels punts de l'interval unitat i el d'una superfície bidimensional finita tenen el mateix [[cardinal]]. Peano aporta la prova que una funció d'aquest tipus pot ser [[contínua]]., Ésés a dir, que una corba pot omplir una superfície.

La clau passa per l'elaboració d'una corba que no és [[Funció derivable|derivable]] enlloc. Totes les corbes trobades fins llavors eren [[Diferencial d'una funció|derivables]] per intervals (tenien una derivada contínua sobre cada interval). El 1872, [[Karl Weierstrass]] havia descrit [[Funció de Weierstrass|una funció]] que era contínua en tots els punts però no era derivable en cap punt., Peròperò cap d'aquestes corbes no podia omplir el quadrat unitat. La corba de Peano, és alhora no derivable enlloc i omple el pla, era doncs fortament contra-intuïtiva.

A partir dels exemples de Peano i de Hilbert, s'han dissenyat altres corbes contínues, obertes o tancades&nbsp;:

* elEl 1900, el matemàtic [[Eliakim Hastings Moore]] proposa, quatre corbes de Hilbert, una variant tancada s'anomena avui [[corba de Moore]];

* elEl 1905, [[Henri Léon Lebesgue|Henri Lebesgue]] proposa [[Corba de Lebesgue|una nova corba]] que és derivable [[Quasi pertot|gairebé a tots els punts]];

* enEl 1912, el matemàtic polonès [[Wacław Sierpiński]] per la seva banda va descriure [[Corba de Sierpinski|una altra corba tancada]] que actualment porta el seu nom.

Més tard, [[Walter Wunderlich]] desenvolupa, una família sencera de variantesvariants de la corba original de Peano.<gallery>

File:Hilbert_curve.png|[[Corba de Hilbert]]

File:Sierpinski-Curve-3.png|[[Corba de Sierpinski&nbsp;(en)]]

File:Moore-curve-stages-1-through-4.png|[[Corba de Moore&nbsp;(en)]]

File:Z-order curve.png|[[Corba de Lebesgue]]