Nucli (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
La traducció correcta de "nucli" a l'alemany és "Kern". Només en anglès existeix el mot "kernel", amb el mateix significat. |
m Creada per traducció de la pàgina «Kernel (algebra)» |
||
Línia 1:
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kernel_(algebra)&oldid=942087762
En la disciplina [[Matemàtiques|matemàtica]] de l'[[àlgebra abstracta]], el '''nucli''' d'un homomorfisme mesura el grau de què li manca a l'homomorfisme [[Funció injectiva|injectiu]].<ref>See {{Harvnb|Dummit|Foote|2004}} and {{Harvnb|Lang|2002}}.</ref> Un cas especial important és el nucli d'una aplicació lineal. El nucli d'una matriu és el nucli de l'aplicació lineal definida per la matriu.
La definició de nucli
== Exemples ==
=== Aplicacions lineals ===
Siguin ''V'' i ''W'' dos [[Espai vectorial|espais vectorials]] sobre un [[Cos (matemàtiques)|cos]] (o més generalment, [[Mòdul|mòduls]] sobre un [[Anell (matemàtiques)|anell]]), i sigui ''T'' una [[aplicació lineal]] de ''V'' a ''W''. Si '''0'''''<sub>W</sub>'' és vector nul de ''W'', llavors el nucli de ''T'' és la [[Imatge (matemàtiques)|antiimatge]] de l'espai nul {'''0'''<sub>''W''</sub>}; és a dir, el [[subconjunt]] de ''V'' que consisteix en tots aquells elements de ''V'' que s'envien per ''T'' a l'element '''0'''<sub>''W''</sub>. El nucli es denota normalment com a {{Nowrap|ker ''T''}} o {{Nowrap|ker ''T''}}:
: <math> \operatorname{ker} T = \{\mathbf{v} \in V : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{W}\}\text{.} </math>
Com que tota aplicació lineal envia el vector nul al vector nul (hom diu que conserva els vectors nuls), el vector nul '''0'''<sub>''V''</sub> de ''V'' necessàriament ha de pertànyer al nucli de l'aplicació. La transformació ''T'' és injectiva si i només si el seu nucli queda reduït al subespai nul.
El nucli {{Nowrap|ker ''T''}} és sempre un [[Subespai vectorial|subespai lineal]] de ''V''. Així, té sentit parlar de l'[[Espai vectorial quocient|espai quocient]] ''V''/(ker ''T''). El primer teorema d'isomorfisme per a espais vectorials afirma que aquest espai quocient és naturalment [[Isomorfisme|isomorf]] a la [[Imatge (matemàtiques)|imatge]] de ''T'' (que és un subespai de ''W''). En conseqüència, la dimensió de ''V'' és igual a la dimensió del nucli més la [[Dimensió d'un espai vectorial|dimensió]] de la imatge.
Si ''V'' i ''W'' tenen [[Dimensió d'un espai vectorial|dimensió finita]] i hom n'escull [[Base (àlgebra)|bases]] respectives, llavors es pot descriure ''T'' mitjançant una [[Matriu (matemàtiques)|matriu]] ''M'', i el nucli de ''T'' es pot calcular mitjançant la resolució del [[Sistema d'equacions lineals#Sistemes homogenis|sistema homogeni d'equacions lineals]] {{Nowrap|1=''M'''''v''' = '''0'''}}. En tal cas, hom pot identificar el nucli de ''T'' amb el nucli de la matriu ''M'', també anomenat "espai nul de ''M''". La dimensió de l'espai nul de ''M'' ve donat pel nombre de columnes de ''M'' menys el [[Rang (àlgebra lineal)|rang]] de ''M'', la qual cosa és una conseqüència del [[teorema del rang]].
La resolució d'[[equacions diferencial homogènies]] sovint se centra a calcular el nucli de certs [[Operador diferencial|operadors diferencials]]. Per exemple, per tal de trobar totes les [[Funció diferenciable|funcions]] dues vegades diferenciables ''f'' de la [[recta real]] en ella mateixa tals que
: <math>xf''(x) + 3f'(x) = f(x),</math>
sigui ''V'' l'[[Espai vectorial|espai]] de totes les funcions diferenciables dues vegades, sigui ''W'' l'espai de totes les funcions, i defineixi's un operador lineal ''T'' de ''V'' a ''W'' com
: <math>(Tf)(x) = xf''(x) + 3f'(x) - f(x)</math>
on ''f'' pertany a ''V'' i ''x'' és un [[nombre real]] arbi''t''rari. Llavors totes les solucions a l'equació diferencial pertanyen a {{Nowrap|ker ''T''}}.
Hom pot definir nuclis d'homomorfismes entre mòduls sobre un [[Anell (matemàtiques)|anell]] d'una manera anàloga. Això inclou els nuclis d'homomorfismes entre [[Grup abelià|grups abelians]] com a cas especial.
=== Homomorfismes de grups ===
Siguin ''G'' i ''H'' dos [[Grup (matemàtiques)|grups]], i sigui ''f'' un [[homomorfisme de grups]] de ''G'' a ''H''. Si ''e<sub>H</sub>'' és l'[[element identitat]] de ''H'', llavors el nucli de ''f'' és la preimatge del conjunt [[singletó]] {''e<sub>H</sub>''}; és a dir, el subconjunt de ''G'' que consisteix en tots aquells [[Element neutre|elements]] de ''G'' que són enviats per ''f'' a l'element ''e<sub>H</sub>''. Hom acostuma a denotar el nucli per {{Nowrap|ker ''f''}} (o una variació, com ara {{Nowrap|ker ''f''}}). En símbols:
: <math> \operatorname{ker} f = \{g \in G : f(g) = e_{H}\}\mbox{.}</math>
Com que un homomorfisme de grups conserva els elements identitat, l'element identitat ''e<sub>G</sub>'' de ''G'' ha de pertànyer al nucli de ''f''. L'homomor''f''isme ''f'' és injectiu si i només si el seu nucli es composa exclusivament del conjunt singletó {''e<sub>G</sub>''}. Això és cert perquè, si l'homomor''f''isme ''f'' no és injectiu, llavors existeixen <math>a, b \in G</math> amb <math>a \neq b</math> tals que <math>f(a)=f(b)</math>. Això significa que <math>f(a)f(b)^{-1} = e_{H}</math>, la qual cosa és equivalent a afirmar que <math>f(ab^{-1}) = e_{H}</math>, ja que els homomorfismes de grup porten inversos a inversos i per tant <math>f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})</math>. En altres paraules, .<math>ab^{-1} \in \operatorname{ker} f</math>. Recíprocament, si existeix un element <math>g \neq e_G \in \operatorname{ker} f</math>, llavors <math>f(g)=f(e_G)=e_H</math>, i per tant ''f'' no és injectiu.
El grup ker ''f'' no és només un [[subgrup]] de ''G'', sinó que també és un [[subgrup normal]]. Així, té sentit parlar del [[grup quocient]] {{Nowrap|''G''/(ker ''f'')}}. El [[Teorema d'isomorfisme|primer teorema d'isomorfisme]] per a grups afirma que aquest grup quocient és isomort de manera natural a la imatge de ''f'' (que és un subgrup de ''H'').
<br />
=== Homomorfismes d'anells ===
Siguin ''R'' i ''S'' dos [[Anell (matemàtiques)|anells]] (suposi's [[Àlgebra sobre un cos#Àlgebres no associatives|unitaris]]), i sigui f un [[homomorfisme d'anells]] entre ''R'' i ''S''. Si 0''<sub>S</sub>'' és l'[[element nul]] de ''S'', llavors el ''nucli'' de ''f'' és el seu nucli com a [[aplicació lineal]] sobre els enters, o, de forma equivalent, com a grups additius. És la preimatge de l'ideal zero {0''<sub>S</sub>''}, que és el subconjunt de ''R'' que consisteix en tots aquells elements de ''R'' que s'envien per ''f'' a l'element 0''<sub>S</sub>''. El seu nucli es denota per {{Math|ker ''f''}} (o una variació). En símbols:
: <math> \operatorname{ker} f = \{r \in R : f(r) = 0_{S}\}\mbox{.} </math>
Com que un homomorfisme d'anells conserva els elements nuls, l'element nul 0''<sub>R</sub>'' de ''R'' ha de pertànyer al nucli de ''f''. L'homomorfisme ''f'' és injectiu si i només si el seu nucli és només el conjunt singletó {0''<sub>R</sub>''}. Això sempre és cert si ''R'' és un [[Cos (matemàtiques)|cos]] i ''S'' no és l'[[anell trivial]].
Donat que {{Nowrap|ker ''f''}} conté l'element identitat multiplicatiu només si ''S'' és l'anell trivial, resulta que el nucli no és, en general, un subanell de ''R''. El kernel és un subpseudoanell, i més concretament, un [[Ideal (matemàtiques)|ideal]] de ''R'' per l'esquerra i per la dreta. Així, té sentit parlar de l'anell quocient {{Nowrap|''R''/(ker ''f'')}}. El primer teorema d'isomorfisme per a anells afirma que aquest anell quocient és isomorf de manera natural a la imatge de ''f'' (que és un subanell de ''S''). Cal observar que no cal que els anells siguin unitaris per a la definició de nucli.
=== Homomorfismes de monoides ===
Siguin ''M'' i ''N'' dos [[Monoide|monoides]] i sigui ''f'' un homoorfisme de monoides entre ''M'' i ''N''. Llavors el nucli de ''f'' és el subconjunt del [[producte directe]] {{Nowrap|''M'' × ''M''}} format per tots aquells [[Parell ordenat|parells ordenats]] d'elements de ''M'' els components dels quals són ambdós enviats per ''f'' al mateix element de ''N''. Aquest nucli es denota normalment per {{Nowrap|ker ''f''}} (o una variació). En símbols:
: <math> \operatorname{ker} f = \{(m,m') \in M \times M : f(m) = f(m')\}\mbox{.} </math>
Com que ''f'' és una [[funció]], els elements de la forma {{Nowrap|(''m'', ''m'')}} ha de pertànyer al seu nucli. L'homomorfisme ''f'' és injectiu si i només si el seu nucli està format només pel [[Matriu diagonal|conjunt diagonal]] {{Nowrap|{(''m'', ''m'') : ''m'' ∈ ''M''<nowiki>}</nowiki>}}.
Resulta que ker ''f'' és una [[relació d'equivalència]] en ''M'', i de fet una [[Congruència|relació de congruència]]. Així, té sentit per parlar del [[Semigrup|monoide quocient]] {{Nowrap|''M''/(ker ''f'')}}. El primer teorema d'isomorfisme per a monoids afirma que aquest monoide quocient és isomorf de manera natural a la imatge de ''f'' (que és un [[Monoide|submonoid]] de ''N'') per la relació de congruència.
Aquest cas és molt de la resta d'exemples presentats. En particular, la preimage de l'element identitat de ''N'' no és suficient per determinar el nucli de ''f''.
== Àlgebra universal ==
Tot el per sobre dels casos poden ser unificats i generalitzats en [[àlgebra universal]].
=== Cas general ===
Siguin ''A'' i ''B'' dues [[Estructura algebraica|estructures algebraiques]] d'un tipus donat i sigui ''f'' un homomor''f''isme d'aquest tipus entre ''A'' i ''B''. Llavors el nucli de ''f'' és el subconjunt del [[producte directe]] {{Nowrap|''A'' × ''A''}} format per tots aquells [[Parell ordenat|parells ordenats]] d'elements de ''A'' els components dels quals són ambdós enviats per ''f'' al mateix element de ''B''. El nucli de ''f'' es denota normalment com a {{Nowrap|ker ''f''}} (o una variació). En símbols:
: <math> \operatorname{ker} f = \{(a,a') \in A \times A : f(a) = f(a')\}\mbox{.} </math>
Com que ''f'' és una [[funció]], els elements de la forma {{Nowrap|(''a'', ''a'')}} pertanyen necessàriament al nucli de ''f''.
L'homomorfime ''f'' és injectiu si i només si el seu nucli és exactament el conjunt diagonal {{Nowrap|{(''a'', ''a'') : ''a'' ∈ ''A''<nowiki>}</nowiki>}}.
És senzill veure que {{Nowrap|ker ''f''}} és una [[relació d'equivalència]] en ''A'', i de fet és una [[Congruència|relació de congruència]]. Així, té sentit parlar de l'àlgebra quocient {{Nowrap|''A''/(ker ''f'')}}. El [[Teorema d'isomorfisme|primer teorema d'isomorfisme]] en àlgebra universal general afirma que aquesta àlgebra quocient és isomorfa de manera natural a la imatge de ''f'' (que és una subàlgebra de ''B'').
Cal observar que aquesta definició de nucli (com en el cas dels monoides) no depèn de l'estructura algebraica; és un concepte purament de [[teoria de conjunts]].
=== Àlgebres de Mal'cev ===
En el cas d'àlgebres de Mal'cev, aquesta construcció es pot simplificar. Tota àlgebra de Mal'cev té un [[element neutre]] especial (el [[Element nul|vector nul]] en el cas d'espais vectorials, l'[[element neutre]] en el cas de [[Grup abelià|grups commutatius]], i l'element nul en el cas d'[[Anell (matemàtiques)|anells]] o [[Mòdul (matemàtiques)|mòduls]]). La característica d'una àlgebra de Mal'cev és que podem recuperar la totalitat de la relació d'equivalència {{Nowrap|ker ''f''}} a partir de la [[classe d'equivalència]] de l'element neutre.
Més específicament, siguin ''A'' i ''B'' dues estructures algebraiques de Mal'cev d'un cert tipus, i sigui ''f'' un homomorfisme d'aquest tipus entre ''A'' i ''B''. Si ''e<sub>B</sub>'' és l'element neutre de ''B'', llavors el nucli de ''f'' és la [[Imatge (matemàtiques)|preimatge]] del conjunt [[singletó]] {''e<sub>B</sub>''}; és a dir, el [[subconjunt]] de ''A'' format per tots aquells elements de ''A'' que són enviats a ''e<sub>B</sub>'' per ''f''. El nucli de ''f'' es denota per {{Nowrap|ker ''f''}} (o una variació). En símbols:
: <math> \operatorname{ker} f = \{a \in A : f(a) = e_{B}\}\mbox{.} </math>
Com que un homomorfisme d'àlgebres de Mal'cev conserva els elements neutres, l'element d'identitat ''e<sub>A</sub>'' de ''A'' ha de pertànyer al seu nucli. L'homomorfisme ''f'' és injectiu si i només si el seu nucli consta només del conjunt singletó {''e<sub>A</sub>''}.
La noció d'[[Ideal (matemàtiques)|ideal]] es pot generalitzar a qualsevol àlgebra de Mal'cev (de manera anàloga a un [[subespai vectorial]] en el cas d'espais vectorials, un [[subgrup normal]] en el cas de [[Grup (matemàtiques)|grups]], ideals per la dreta i per l'esquerra en el cas d'[[Anell (matemàtiques)|anells]], o submòduls en el cas de [[Mòdul|mòduls]]). Es compleix que {{Nowrap|ker ''f''}} no és una subàlgebra de A, però és un ideal. Aleshores té sentit parlar de l'àlgebra quocient {{Nowrap|''G''/(ker ''f'')}}. El primer teorema d'isomorfisme per a àlgebres de Mal'cev afirma que aquesta àlgebra quocient és isomorfa de manera natural a la imatge de ''f'' (que és una subàlgebra de ''B'').
<br />
== Àlgebres amb estructura no algebraica ==
De vegades, hom dota les àlgebres amb una estructura no algebraica a més de les seves operacions algebraiques. Per exemple, es poden considerar [[Grup topològic|grups topològics]] o [[Espai vectorial topològic|espais vectorials topològics]], que estan dotats d'una [[Espai topològic|topologia]]. En aquest cas, es podria esperar que l'homomorfisme ''f'' conservés aquesta estructura addicional; en els exemples topològics, hom esperaria que ''f'' fos una [[Funció contínua|aplicació contínua]]. Aquest procés pot tenir algun inconvenient amb les àlgebres quocient, que poden no tenir un bon comportament. En els exemples topològics, hom pot estalviar-se problemes si es requereix que les estructures algebraiques topològiques siguin de tipus Hausdorff (cosa que es fa normalment); aleshores. el nucli de l'aplicació serà un [[conjunt tancat]] i l'espai quocient es comporta de la manera esperada (i també és [[Espai de Hausdorff|Hausdorff]]).
== Nuclis en teoria de categories ==
<br />
== Vegeu també ==
* [[Arrel d'una funció|Arrels d'una funció]]
== Referències ==
{{Referències}}
== Bibliografia ==
* {{Ref-llibre|ref=harv|cognom=Dummit|nom=David S.|títol=Abstract Algebra|editorial=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|any=2004|edició=3rd|isbn=0-471-43334-9}}
* {{Ref-llibre|ref=harv|cognom=Lang|nom=Serge|enllaçautor=Serge Lang|títol=Algebra|editorial=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|col·lecció=[[Graduate Texts in Mathematics]]|any=2002|isbn=0-387-95385-X}}
[[Categoria:Aplicacions lineals]]
| |||