Revisió del 07:16, 11 abr 2020 modifica Rebot (discussió \| contribucions) Bots 2.781.478 edits m neteja i estandardització de codi ← Edició anterior		Revisió del 18:03, 14 abr 2020 modifica desfés EVA3.0 (bot) (discussió \| contribucions) Bots 3.409.771 edits m Plantilla Etiqueta: PAWS [1.2] Edició següent →
Línia 5: == Motivació per a introduir els nombres hiperreals == Els «infinitament petits» de l'anàlisi del [[{{segle \|XVII]]\|s}}, que van ser explotats sistemàticament per [[Gottfried Wilhelm Leibniz\|Leibniz]], [[Johann Bernoulli]], [[Leonhard Euler\|Euler]], i d'altres, havien suscitat violentes crítiques, bastant semblants a aquelles provocades per la introducció de «[[nombres imaginaris]]» de quadrat negatiu. Però, contràriament a aquests últims, els problemes tècnics corresponents (tals com la negació de l'[[axioma d'arquimedianitat]]) no van poder ser resolts, la qual cosa va conduir a la desaparició progressiva dels infinitesimals i la seva substitució, deguda a [[Bernard Bolzano\|Bolzano]], a [[Augustin Louis Cauchy\|Cauchy]] i a [[Karl Weierstrass\|Weierstrass]], per les nocions de [[límit]], de [[funció contínua\|continuïtat]], etc. Tanmateix, encara es podia intentar d'adjuntar als reals nous objectes que permetin mantenir el rigor en els raonaments que utilitzen els infinitament petits, i diverses temptatives van ser fetes en aquest sentit (per exemple, per [[Jacques Hadamard\|Hadamard]] i [[Paul du Bois-Reymond\|du Bois-Reymond]]), però sense gran èxit, per raons que només la [[lògica matemàtica]] havia d'aclarir. Línia 17: El 1948, [[Edwin Hewitt]], en el marc dels seus treballs sobre els anells de funcions reals, definia objectes identificables a aquests nombres,<ref>Edmin Hewitt, [http://scholar.google.fr/scholar?q=%22Rings+of+real-valued+continuous+functions%22&hl=fr&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart ''Rings of real-valued continuous functions'']</ref> que [[Jerzy Łoś]] va demostrar el 1955 que tenen totes les propietats d'una extensió dels reals. És al començament dels anys 1960 que [[Abraham Robinson]], en el marc dels seus treballs sobre l'[[anàlisi no estàndard]], havia de definir els '''nombres hiperreals''' i donar-los el seu nom actual, fent d'altra banda explícitament referència als treballs d'Hewitt.<ref>Robinson ''( No estàndard Analysis'', 1966, pàg. 278) parla de la "theory of hyperreal fields (Hewitt [1948]) which... can serve as non-standard models of analysis". Vegeu també igualment [[Howard Jerome Keisler]], ''The hyppereal line'', en ''Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua'', ed. by P. Erlich, Kluwer Academic Publishers, pàg. 207-237, 1994.</ref> Robinson unia les preocupacions de [[Gottfried Wilhelm Leibniz\|Leibniz]] (i dels altres analistes del [[{{segle \|XVII]]\|s}}) intentant donar un sentit als nombres infinitament grans i infinitament petits, vistos com a nombres que tenen "gairebé" totes les propietats dels reals usuals (o estàndards). La construcció de Robinson utilitzava essencialment la [[teoria de models\|teoria dels models]]. Una construcció més explícita amb l'ajuda d'ultraproductes (i qui unia les construccions d'Hewitt) va ser descoberta alguns anys més tard, i és la que s'exposarà aquí. Llavors, un enfocament axiomàtic més general de l'anàlisi no estàndard, la teoria dels conjunts interns (''Internal Set Theory'', o IST), va ser proposada per [[Edward Nelson]]: es basa en l'[[ZFC\|axiomàtica de Zermelo-Fraenkel]], a la qual s'afegeixen tres axiomes nous; la descripció detallada d'aquests axiomes i de les seves conseqüències es donarà en l'article: [[anàlisi no estàndard]]. En aquest últim enfocament (que té, d'altra banda, aplicacions molt més generals que la construcció d'infinitesimal), no es creen parlant pròpiament nous de reals, sinó que es distingeix, entre els reals, una col·lecció (que '''no és pas''' un conjunt) de reals estàndard; els altres es comporten respecte d'aquests com infinitament petits o infinitament grans, per exemple.

Nombre hiperreal: diferència entre les revisions