Conjunt convex: diferència entre les revisions

 

=== Propietats ===

Si <math>S</math> és un conjunt convex, per a qualsevol <math>u_1,u_2,\ldots,u_r</math> de <math>S</math>, i qualsevol [[nombre negatiu|nombres no negatius]] <math>\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r </math> tlas que <math>\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_r=1</math>, es compleix que el vector

<math>\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k</math>

 

==Generalitzacions i extensions de la convexitat==

La idea de convexitat en l'espai euclidià es pot generalitzar modificant la definició en uns o altres aspectes. Es fa servir el nom de "convexitat generalitzada", perquè els objectes que resulten retenen certes propietats dels conjunts convexos.

 

===Convexitat ortogonal===

Un exemple de convexitat generalitzada és la '''convexitat ortogonal'''.<ref>Rawlins G.J.E. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations", in: ''Computational Morphology'', 137-152. [[Elsevier]], [[1988]].</ref>

 

 

=== Geometria no euclidiana ===

La definició d'un conjunt convex i d'un embolcall convex s'estén de forma natural a la [[geometria no euclidiana]] definint un [[conjunt convex geodèsic]] com el que conté tots els punts dels segments de [[geodèsica|geodèsiques]] que uneixen qualsevol parella de punts del conjunt.

 

=== Topologia d'ordre ===

La convexitat es pot estendre per a un espai ''X'' dotat de la [[topologia d'ordre]], fent servir l'[[ordre total]] <math><</math> de 'espai.<ref>[[James Munkres|Munkres, James]]; ''Topology'', Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). {{ISBN|0-13-181629-2}}.</ref>

 

 

===Convexitat abstracta (axiomàtica)===

La idea de convexitat es pot generalitzar a uns altres objectes, si certes propietats de convexitat se seleccionen com [[axioma|axiomes]].