Distribució binomial: diferència entre les revisions

{{Distribució de probabilitat|

nom = Distribució binomial|

paràmetres = <math> n \geq 0 </math> nombre d'assaigs ([[sencer]]) <br/> <math> 0 \leq p \leq 1 </math> probabilitat d'èxit ([[nombre real|real]])|

domini = <math>k \in \{0, \dots, n \}\!</math>|

 

== Exemples ==

Les següents situacions són exemples d'experiments que poden modelitzar per aquesta distribució:

 

 

== Funció de densitat de probabilitat ==

La probabilitat d'obtenir exactament <math> k\, \! </math> èxits en <math> n \, \! </math> assaigs(proves) independents de Bernouilli és donada per la seva [[funció de probabilitat]]:

 

 

== Mitjana i Variància d'una distribució binomial <math> X \sim B (n, p) \, </math> ==

: <math> \mathbb{E}[X] = np \, </math>

:Això es dedueix per la linealitat de l'esperança ja que {{mvar|X}} és la suma de {{mvar|n}} variables aleatòries de Bernoulli idèntiques, cadascuna d'elles amb esperança {{mvar|p}}. És a dir, si <math>X_1, \ldots, X_n</math> són variables aleatòries iguals (i independents) de Bernoulli amb paràmetre {{mvar|p}}, aleshores<math>X = X_1 + \cdots + X_n</math> i

 

== Funció de distribució ==

:<math>F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i},</math>

 

 

===Example===

Suposem que tenim ua moneda trucada amb probabilitat 0.3 de que surti cara quan la llancem a l'aire. La probabilitat que surtin 4 cares en 6 llançaments és

 

 

== Relacions amb altres variables aleatòries ==

Si <math> n </math> tendeix a infinit i <math> \theta_n \, \! </math> és tal que producte entre ambdós paràmetres tendeix a <math> \lambda \, \! </math>, llavors la distribució de la variable aleatòria binomial tendeix a una [[distribució de Poisson]] de paràmetre <math> \lambda </math>.