Divisibilitat: diferència entre les revisions

 

== Propietat general de la divisibilitat ==

Un nombre A està inclòs en altre B quan A repetit una quantitat de vegades com sumand dona B.

Exemple: 5 està inclòs en 20, ja que 20=5+5+5+5=4 vegades 5=4*5

 

== Divisibilitat general ==

La divisibilitat general estudia les característiques que han de tenir les operacions aritmètiques, en general, a la fi de ser divisibles per alguns nombres.

 

=== Divisibilitat de la suma ===

'''Propietat 1.'''

 

 

=== Divisibilitat de la resta ===

'''Propietat 4.'''

'''''Si un nombre divideix al minuend i subtrahend d'una [[resta]] divideix la diferència.'''''

Sigui un divisor D, una resta A-B=C, on suposem que D no divideix A ni B donant A=(D*E)+R i B=(D*F)+R, resultant que

A-B=((A*E)+R)+((A*F)+R)=(A*(E-F))+(R-R)=(A*(E-F)+0=C; i com veiem que D està continguda (E-F) vegades en C, llavors C serà divisible per D.

 

=== Divisibilitat de la multiplicació ===

'''Propietat 7.'''

 

Demostració:

Sigui un [[divisor]] D, una multiplicació A*B=C, on suposem que D no divideix A ni B donant A=(D*E)+R1 i B=(D*F)+R2, resultant A*B=((D*E)+R1)*((D*F)+R2)=(D*E*D*F)+(D*E*R2)+(R1*D*F)+(R1*R2)=C; i com veiem que D està continguda en el 3 primers sumands i no sabem si ho està en (R1.R2), llavors segons la propietat 1 de la suma C és divisible per D si (R1*R2) ho és.

 

=== Divisibilitat de la divisió exacta ===

La divisió exacta una vegada que estigui resolta es pot expressar en forma de multiplicació, així A/B=C ho podem posar A=B.C, llavors les propietats de la multiplicació hi són aplicables a la divisió exacta.

 

 

=== Divisibilitat de la divisió inexacta ===

La divisió inexacta una vegada que estigui resolta es pot expressar en forma de multiplicació, així si A/B=C i un residu R, podem posar A=(B*C)+R, llavors les propietats de la suma hi són aplicables a la divisió inexacta.

 

 

== Criteri general de divisibilitat ==

Sabem que tot nombre natural es pot descompondre en un producte únic de factors primers.

Si dos nombres descompostos en productes de factors primers tenen els mateixos termes són iguals.

 

== Divisibilitat particular ==

La divisibilitat particular estudia les propietats de divisibilitat d'uns nombres concrets.

 

=== Divisibilitat de la unitat seguida de zeros ===

'''''La unitat seguida de X zeros divideix a tot nombre que acabi en X zeros o més.'''''

 

 

=== Divisibilitat del 2 ===

El 10 és divisible per 2, ja que 10=2*5

A tot nombre que li traiem les unitats acabarà en zero.

 

=== Divisibilitat del 3 ===

Sabem que 10=(3*3)+1, 100=(33*3)+1, 1000=(333*3)+1, és a dir, la unitat seguida de zeros és igual a un múltiple de 3 menys 1.

 

 

'''''Un nombre és divisible per 3 si la suma dels valors relatius de les seves xifres és múltiple de 3.'''''{{sfn|Corbalán Yuste|2003|p=4}}

 

El 100 és divisible per 4, ja que 100=4*25

A tot nombre que li traiem les desenes acabarà en dos zeros.

 

=== Divisibilitat del 5 ===

El 10 és divisible per 5, ja que 10=5*2

A tot nombre que li traiem les unitats acabarà en zero.

 

=== Divisibilitat del 6 ===

Com que 6=2*3, llavors tot aquell nombre que sigui divisible per 2 i per 3 serà divisible per 6.

Els nombres divisibles per 2 són aquells que acaben xifra parella i els divisibles per 3 són aquells en què l'addició dels valors relatius de les xifres dóna un múltiple de 3; per tant podem dir:

 

=== Divisibilitat del 8 ===

El 1000 és divisible per 8, ja que 1000=8*125

A tot nombre que li traiem les centenes acabarà en tres zeros.

 

=== Divisibilitat del 9 ===

Sabem que 10=9+1, 100=99+1, 1000=999+1, és a dir, la unitat seguida de zeros és igual a un múltiple de 9 menys 1.

 

 

=== Divisibilitat del 11 ===

Sabem que 10=11-1, 100=99+1, 1000=(990+11)-1, 10000=9999+1, 100000=(99990+11)-1, és a dir, la unitat seguida de zeros parells és igual a un múltiple d'11 menys 1 i la de xifres imparell és un múltiple d'11 més 1.