Equació diofàntica: diferència entre les revisions

 

== Equació diofàntica de primer ordre ==

És una equació de la forma <math>\, ax + by = c </math>, i només té solució si <math>\,\mathrm{m.c.d.} (a,b) | c </math> (és a dir, si el màxim comú divisor de <math>\,a</math> i <math>\,b</math> també divideix <math>\,c</math>).

 

=== Resolució general ===

Les solucions d'aquesta equació són:

:<math>x = r c^{\prime} - t b^{\prime}</math>

 

==== Exemple ====

A continuació, resoldrem l'equació <math>\,27x + 51y = 111</math>. En primer lloc, s'ha de comprovar que té solució: donat que el màxim comú divisor de 27 i 51 és 3, i 3 divideix 111, podem afirmar que sí que en té. Ara, resolent la identitat de Bézout <math>\,\frac{27}{3} r + \frac{51}{3} s = 1</math>, d'on trobem una solució immediata que és <math>r=2, \; s=-1</math>. Per tant, la solució general serà:

:<math>x = 2\cdot 37 - 17t</math>

 

== Alguns exemples ==

*''ax'' + ''by'' = ''c'': s'anomena ''identitat de Bézout''. Aquestes equacions es poden resoldre completament i la primera solució coneguda es deu al matemàtic indi [[Brahmagupta]].

*''x''^''n'' + ''y''^''n'' = ''z''^''n'': per a ''n'' = 2 hi ha infinites solucions (''x'',''y'',''z''), les ''tripletes pitagòriques''. Per a valors superiors de ''n'', l'[[últim teorema de Fermat]] n'assegura la inexistència de solucions.