Funció generatriu: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Bot elimina espais sobrants |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 6:
== Funció generadora ordinària ==
La '' funció generadora ordinària ''d'una successió ('' a '' <sub> '' n '' </sub>) = '' a '' <sub> 0 </sub>, '' a '' <sub> 1 </sub>, '' a '' <sub> 2 </sub>, '' a '' <sub> 3 </sub> ... es defineix com
{{Equació|<math> A (x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots </math>}}
Linha 31 ⟶ 30:
=== Determinació de la funció generadora a partir d'una recurrència ===
En aquesta situació el que es fa és multiplicar banda i banda de la recurrència per '' x^n '' i sumar sobre tots els índexs. Després s'efectuen transformacions perquè la igualtat entre sumes que s'obté es converteixi en una equació que involucra la funció generadora i es procedeix a resoldre-la.
Linha 84 ⟶ 82:
== Altres funcions generadores ==
=== Funció generadora exponencial ===
La '' funció generadora exponencial'' d'una successió'' a '' <sub>'' n ''</sub> és:
Linha 90 ⟶ 87:
=== Funció generadora de Poisson ===
La '' funció generadora de [[Poisson]]'' d'una successió ''a'' <sub> '' n '' </sub>és:
Linha 96 ⟶ 92:
=== Sèrie de Lambert ===
La ''[[sèrie de Lambert]] ''d'una successió ''a'' <sub> '' n '' </sub>és:
Linha 104 ⟶ 99:
=== Sèrie de Bell ===
La [[sèrie de Bell]] d'una [[funció aritmètica]]'' f ''(''n'') i un [[nombre primer]] ''p '' és:
Linha 110 ⟶ 104:
=== Funció generadora de la sèrie de Dirichlet ===
Les [[sèrie de Dirichlet|sèries de Dirichlet]] sovint es classifiquen com a funcions generadores, encara que no són estrictament sèries formals de potències. La'' funció generadora de la sèrie de [[Dirichlet]] ''d'una successió'' a'' <sub> '' n '' </sub>és:
Linha 122 ⟶ 115:
=== Funcions generadores de successions polinòmiques ===
El concepte de funcions generadores pot estendre a successions d'altres objectes. Així, per exemple, les successions polinòmiques de [[tipus binomial]] es generen per:
Linha 130 ⟶ 122:
== Exemples ==
{{AP|Exemples de funcions generadores}}
Linha 136 ⟶ 127:
=== Funcions generadores ordinàries ===
La més fonamental de totes és la successió constant 1,1,1,1, ..., la funció generadora ordinària és:
: <math> \sum_{n \in \mathbf{N}}X^n ={1 \over1-X}. </math>
Linha 165 ⟶ 155:
== Aplicacions ==
Les funcions generadores s'empren per:
Linha 189 ⟶ 178:
== Referències ==
* [[Herbert Wilf|Herbert S. Wilf]], '' [http://www.math.upenn.edu/% 7Ewilf/DownldGF.html Generatingfunctionology (Second Edition)] '' (1994) Academic Press. {{ISBN|0-12-751956-4}}.
* [[Donald Knuth|Donald E. Knuth]], '' The Art of Computer Programming, Volume 1 Fonamental Algorithms (Third Edition) '' Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-89683-4}}. Section 1.2.9: Generating Functions, pp. 87–96.
| |||