Diferència entre revisions de la pàgina «Funció generatriu»

m
neteja i estandardització de codi
m (Bot elimina espais sobrants)
m (neteja i estandardització de codi)
 
 
== Funció generadora ordinària ==
 
La '' funció generadora ordinària ''d'una successió ('' a '' <sub> '' n '' </sub>) = '' a '' <sub> 0 </sub>, '' a '' <sub> 1 </sub>, '' a '' <sub> 2 </sub>, '' a '' <sub> 3 </sub> ... es defineix com
{{Equació|<math> A (x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots </math>}}
 
=== Determinació de la funció generadora a partir d'una recurrència ===
 
En aquesta situació el que es fa és multiplicar banda i banda de la recurrència per '' x^n '' i sumar sobre tots els índexs. Després s'efectuen transformacions perquè la igualtat entre sumes que s'obté es converteixi en una equació que involucra la funció generadora i es procedeix a resoldre-la.
 
== Altres funcions generadores ==
=== Funció generadora exponencial ===
 
La '' funció generadora exponencial'' d'una successió'' a '' <sub>'' n ''</sub> és:
 
 
=== Funció generadora de Poisson ===
 
La '' funció generadora de [[Poisson]]'' d'una successió ''a'' <sub> '' n '' </sub>és:
 
 
=== Sèrie de Lambert ===
 
La ''[[sèrie de Lambert]] ''d'una successió ''a'' <sub> '' n '' </sub>és:
 
 
=== Sèrie de Bell ===
 
La [[sèrie de Bell]] d'una [[funció aritmètica]]'' f ''(''n'') i un [[nombre primer]] ''p '' és:
 
 
=== Funció generadora de la sèrie de Dirichlet ===
 
Les [[sèrie de Dirichlet|sèries de Dirichlet]] sovint es classifiquen com a funcions generadores, encara que no són estrictament sèries formals de potències. La'' funció generadora de la sèrie de [[Dirichlet]] ''d'una successió'' a'' <sub> '' n '' </sub>és:
 
 
=== Funcions generadores de successions polinòmiques ===
 
El concepte de funcions generadores pot estendre a successions d'altres objectes. Així, per exemple, les successions polinòmiques de [[tipus binomial]] es generen per:
 
 
== Exemples ==
 
{{AP|Exemples de funcions generadores}}
 
 
=== Funcions generadores ordinàries ===
 
La més fonamental de totes és la successió constant 1,1,1,1, ..., la funció generadora ordinària és:
: <math> \sum_{n \in \mathbf{N}}X^n ={1 \over1-X}. </math>
 
== Aplicacions ==
 
Les funcions generadores s'empren per:
 
 
== Referències ==
 
* [[Herbert Wilf|Herbert S. Wilf]], '' [http://www.math.upenn.edu/% 7Ewilf/DownldGF.html Generatingfunctionology (Second Edition)] '' (1994) Academic Press. {{ISBN|0-12-751956-4}}.
* [[Donald Knuth|Donald E. Knuth]], '' The Art of Computer Programming, Volume 1 Fonamental Algorithms (Third Edition) '' Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-89683-4}}. Section 1.2.9: Generating Functions, pp.&nbsp;87–96.
1.522.609

modificacions