Anell euclidià: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 83:
=== Altres anells euclidians ===
* Existeixen altres anells [[enter quadràtic|enters quadràtics]] euclidians. Els que no estan inclosos en ''R'' són tots coneguts. Els altres, com per exemple el dels [[enter de Dirichlet|enters de ''Q''(√5)]], s'anomenen [[cos totalment real|totalment reals]]. (Aplicades a cossos quadràtics, les nocions de ''real'' i ''totalment real'' són equivalents.) Es conjectura que existeix una infinitat d'anells quadràtics totalment reals euclidians.
* Si K és un cos commutatiu, K<nowiki>[[</nowiki>X<nowiki>]]</nowiki> l'anell de les seves [[sèrie formal|sèries formals]] és euclidià per a l'avaluació: v(P) = grau més petit de X en P.
* Si A és un anell euclidià i si S és una part de A estable per la multiplicació. La [[localització (matemàtica)|localització]] de A respecte a S és també un anell euclidià.
Línia 147:
.
* '''Tot anell euclidià és factorial:'''
Sigui ''A'' un anell euclidià; s'escull una norma ''v'' sobre A. Se suposa que, per reducció al absurd, existeix un element no nul no inversible de ''A'' qui no sigui descomponible en producte d'elements irreductibles. Se'n considera un, sigui ''x'' tal que ''v''(''x'') sigui el més petit possible. Ja que x no és descomponible, no és irreductible, per tant és producte de dos dels seus divisors estrictes, tots dos no inversibles. (S'enten per ''divisor estricte'' d'un element x un divisor de x que no n'és múltiple, en altres paraules un element d tal que x sigui de la forma dx amb x no inversible.) Ja que x no és descomponible, un almenys d'aquests dos divisors, sigui y, és indescomponible. Però sent y divisor estricte de x, es té, segons una propietat de les normes (vegeu la secció corresponent), v(y) < v(x), el que contradiu la minimalitat de v(x). Aquesta contradicció prova l'existència de la descomposició en producte d'elements irreductibles. La unicitat es demostra sense recurs a l'axioma de elecció, fins i tot en el cas general dels anells principals.
}}
| |||