Axioma de l'elecció: diferència entre les revisions

* Sigui X una col·lecció de [[conjunt]]s no [[buit]]s. Llavors podem escollir un membre de cada conjunt de la col·lecció.

* Existeix una [[Funció matemàtica|funció]] ''f'' definida en X tal que per a cada [[conjunt]] S en X, f(S) és un element de S.

# Sigui X la col·lecció de tots els conjunts no buits dels nombres naturals {0, 1, 2, 3...}.

Llavors ''f'' pot ser la funció que escull el menor element de cada conjunt.

Novament, l'axioma d'elecció no és necessari, ja que tenim una regla per escollir.

# Sigui X la col·lecció de tots els sub-intervals de (0, 1) amb longitud superior a 0.

Llavors ''f'' pot ser la funció que escull el [[punt mitjà]] de cada [[interval (matemàtiques)|interval]]. Una altra vegada, l'axioma d'elecció no és necessari.

# Sigui X la col·lecció de tots els conjunts no buits dels [[Nombre real|nombres reals]].

Aquí hi ha la clau de l'[[axioma]]. Només estableix que existeix alguna funció f que pot escollir un element de cada conjunt de la col·lecció. No dóna cap indicació de com s'hauria de definir la funció, senzillament en manté l'existència. Els [[teorema|teoremes]] la prova dels quals inclou l'axioma d'elecció són sempre no constructius: postulen l'existència de quelcom sense indicar com obtenir-ho.

S'ha demostrat que l'axioma d'elecció és independent de la resta d'axiomes de la teoria de conjunts; és a dir, no es pot demostrar ni refutar. Això és el resultat del treball de [[Kurt Gödel]] i [[Paul Cohen]]. Així, no hi ha contradiccions, tant si s'accepta com si no s'accepta; tanmateix, la majoria dels [[Matemàtiques|matemàtics]] l'accepten, o bé n'accepten una versió feble, ja que així se'ls simplifica la feina.

Una de les raons per la qual a alguns matemàtics no els agrada particularment l'axioma d'elecció és que implica l'existència d'alguns objectes estranys no [[intuïtiu]]s. Un exemple d'això és la [[paradoxa de Banach-Tarski]] que conclou que és possible de "dividir" l'[[esfera]] tridimensional en un nombre de peces finit i, usant només [[rotació (matemàtiques)|rotació]] i [[translació]], ajuntar les peces formant dues boles cadascuna amb el mateix [[volum]] que l'original. Cal notar que, com totes les proves que inclouen l'axioma d'elecció, no diu com cal fer-ho, només diu que es pot fer.

Un dels aspectes més interessants de l'axioma d'elecció és els llocs curiosos de les matemàtiques on surt. Així, hi ha un nombre remarcable d'afirmacions que són equivalents a l'axioma d'elecció. Els més importants són el [[lema de Zorn]] i el [[principi de bon ordenament]]: cada [[conjunt]] pot ser ben ordenat. (De fet, [[Zermelo]] va introduir inicialment l'axioma d'elecció per formalitzar la seva prova del principi de bon ordenament).