Treball (física): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Posició figures |
→Desenvolupament matemàtic: Ampliació |
||
Línia 30:
==Desenvolupament matemàtic==
=== Treball realitzat per una força constant ===
L'expressió del treball és un [[producte escalar]] entre el vector força <math display="inline">\vec F</math> i el vector posició <math display="inline">\vec r</math>. Per les propietats del producte escalar s'obté que:
<math display="block">\vec F \cdot d\vec r= (F_x \vec i + F_y \vec j + F_z \vec k) \cdot (dx \vec i + dy \vec j + dz \vec k) = F_x dx + F_y dy + F_z dz</math>
Si sobre un punt material s'aplica una força constant <math>\vec F = F_x \vec i + F_y \vec j + F_z \vec k</math> , el treball que realitza aquesta força entre la posició <math display="inline">(x_1, y_1, z_1)</math> i la posició <math display="inline">(x_2, y_2, z_2)</math>, expressades en [[Sistema de coordenades cartesianes|coordenades cartesianes]], es calcula separant components per la propietat del producte escalar indicada:
<math display="block">W = \int_{x_1}^{x_2} F_x dx + \int_{y_1}^{y_2} F_y dy + \int_{z_1}^{z_2} F_z dz =
F_x \int_{x_1}^{x_2} dx + F_y \int_{y_1}^{y_2} dy + F_z \int_{z_1}^{z_2} dz</math><math display="block">W = F_x (x_2-x_1) + F_y (y_2-y_1) + F_z (z_2-z_1)</math>[[Fitxer:Treball vector x.png|miniatura|'''Figura 1'''. Representació gràfica de la força F que actua sobre un sòlid que descansa sobre una superfície plana. La força provoca un desplaçament d. Entre les direccions dels vectors F i x existeix un angle α.]]S'observa que el treball realitzat per una força constant només depèn de la intensitat de la força i de les coordenades de les posicions inicial <math display="inline">(x_1, y_1, z_1)</math> i final <math display="inline">(x_2, y_2, z_2)</math>, però no depèn del camí seguit per anar d'una posició a l'altra. A aquest tipus de força hom l'anomena [[força conservativa]].<ref>{{Ref-llibre|títol=Ingeniería mecánica. Dinámica|url=https://www.worldcat.org/oclc/625153518|editorial=Reverté|data=D.L. 1996|lloc=Barcelona|isbn=84-291-4256-8|cognom=Riley, William F.}}</ref> Com exemples hi ha el cas de l'elevació d'un cos a una certa altura des de terra o l'acceleració d'un cos situat damunt d'una superfície plana.
=== Altres ===
Donada una [[força]] constant <math>\vec{F}</math> que és aplicada a un objecte que recorre un trajecte rectilini <math>\vec{u}</math> genera una energia, un treball ''W''
:<math>W = \vec{F}\cdot \vec{u}</math>
<math>\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{u} = F u \cos(\widehat{fu})</math>
Cal ressaltar que només la component de <math>\vec{F}</math> que és paral·lela a <math>\vec{u}</math> treballa, atès que segons les propietats del [[producte escalar]], l'escalar de dues forces perpendiculars és nul.
Si la força canvia al llarg del trajecte, o si el trajecte no és rectilini, ens podem referir a una curta durada de temps ''dt'' durant la que la força pot ser considerada constant <math>\vec{du}</math> i el trajecte recorregut pot ser considerat rectilini; aquest treball elemental es representa com <math>\delta W</math> i val:
| |||