Espai de Sóbolev: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Robot estandarditza i catalanitza referències, catalanitza dates i fa altres canvis menors |
|||
Línia 50:
és una norma equivalent a la precedent (sigui ''p'' finit o no). Aquestes normes es denoten indistintament ║ ║<math>_{w^{m.p}}</math> o ║ ║<math>_{m,p}</math>.
=== El cas ''p'' = 2 ===
En el cas en què ''p'' = 2, els espais de Sóbolev tenen un interès particular ja que es tracta llavors d'[[espai de Hilbert|espais de Hilbert]]. La seva norma és induïda pel producte interior següent:
<center><math>\left( u , v \right)_{m} =\sum \limits _{0 \le|\alpha|\le m} \left( D^{\alpha} u, D^{\alpha} v\right),</math></center>
on <math> \left( u , v \right) = \int_{\Omega} u(x) \overline{v(x)}~\mathrm dx </math> és el producte interior en <math>L^2(\Omega)</math>, el [[producte escalar]] en el cas real i l'[[matriu hermítica|hermític]] en el cas complex.
En aquest cas, per designar l'espai de Sóbolev, s'utilitza una notació especial:
<center><math>H^m(\Omega)=W^{m,2}(\Omega).</math></center>
A més, en el cas en què la [[transformada de Fourier]] pot ser definida en <math>L^p(\Omega)</math>, l'espai <math>H^m(\Omega)</math> pot ser definit de forma natural a partir de la transformada de Fourier.
* Per exemple si <math>\Omega = \mathbb{R}^n</math>, gràcies a la [[identitat de Parseval]], es verifica fàcilment que si <math>\scriptstyle\widehat u</math> és la transformada de Fourier de ''u '':
<center><math>H^m\left(\R^n\right)=\left\lbrace u\in\mathrm L^2\left(\R^n\right)~\left|~\int_{\R^n}|\hat{u}(\xi)|\xi|^{\alpha}|^2\mathrm d\xi \;<\infty\text{ pour }|\alpha|\le m\right.\right\rbrace</math></center>
o, el que és equivalent:
<center><math>H^m\left(\R^n\right)=\left\lbrace u\in \mathrm L^2\left(\R^n\right)~\left|~\int_{\R^n}|\hat{u}(\xi)|^2\left(1+|\xi|^2\right)^m\mathrm d\xi \;<\infty \right.\right\rbrace</math></center>
i que
<center><math>\left( u,v \right)_m:=\int_{\R^n}\hat{u}\left(\xi \right) \overline{\hat{v}(\xi)} \left(1 + |\xi|^2\right)^m\mathrm d\xi</math></center>
és un producte hermític equivalent al definit més amunt.
* O, finalment, si Ω = ]0, 1[, es verifica que:
<center><math>H^m(\left]0,1\right[)=\left\{u\in\mathrm L^2(]0,1[)~\left|~\sum_{n\in\Z}(1+n^2)^m|\widehat u_n|^2<\infty\right.\right\}</math></center>
on <math>\scriptstyle\widehat u_n</math> és la [[sèrie de Fourier]] de <math>u</math>
També aquí, el resultat es dedueix fàcilment de la identitat de Parseval i del fet que la derivació correspon a multiplicar els coeficients de Fourier per ''in''. Es veu aquí que una funció de <math>H^m(\Omega)</math> és caracteritzada per un decreixement suficientment ràpid dels coeficients en la sèrie de Fourier.
{{Inacabat|data=maig de 2020}}
| |||