Matriu (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m Bot elimina espais sobrants |
||
Línia 161:
:<math>F=DC\in M_{m\times n}\Longrightarrow f_{ij}=\sum_{r=1}^kd_{ir}c_{rj}=\sum_{r=1}^k \Bigg(\sum_{l=1}^pa_{il}b_{lr} \Bigg) c_{rj}=\sum_{r=1}^k \sum_{l=1}^pa_{il}b_{lr} c_{rj}=\sum_{l=1}^p a_{il}\Bigg(\sum_{r=1}^kb_{lr}c_{rj} \Bigg)=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj} </math>
:Com que <math>(DC)_{ij}=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj} </math> és precisament el producte <math>(AE)_{ij}=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj} </math> tenim que, <math>\forall 1\geq i\geq m, 1\geq j\geq n</math> :<math>[(AB)C]_{ij}=[DC]_{ij}=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj}=[AE]_{ij}=[A(BC)]_{ij}</math>
:I, per tant, <math>(AB)C=A(BC)</math>.
*Propietat distributiva per l'esquerra
:Sigui <math>A,B\in M_{m\times p}, C\in M_{p\times n}, </math>
Línia 167:
:<math>E=AC\in M_{m\times n}\Longrightarrow e_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}</math>
:<math>F=BC\in M_{m\times n}\Longrightarrow f_{ij}=\sum_{l=1}^pb_{il}c_{lj}</math>
:<math>G=DC\in M_{m\times n}\Longrightarrow g_{ij}=\sum_{l=1}^pd_{il}c_{lj}=\sum_{l=1}^p(a_{il}+b_{il})c_{lj}=\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}+\sum_{l=1}^pb_{il}c_{lj}=e_{ij}+f_{ij}\Longrightarrow (A+B)C=DC=G=E+F=AC+BC</math>
*Propietat distributiva per la dreta
Línia 193:
El [[rang d'una matriu]] <math>A</math> és la [[dimensió Hamel|dimensió]] de la [[imatge (matemàtiques)|imatge]] de l'aplicació lineal representada per <math>A</math>: això és el mateix que la dimensió de l'espai generat per les files d'<math>A</math>, i també el mateix que la dimensió de l'espai generat per les columnes d'<math>A</math>.
Una altra operació sobre el conjunt <math>M_{m\times n}</math> és la transposició. La [[transposada]] d'una matriu <math>A</math> <math>m</math>-per-<math>n</math> és la matriu <math>A^t</math> <math>n</math>-per-<math>m</math> (també escrita a vegades <math>{}^tA</math>), extreta convertint les files en columnes i les columnes en files, o sigui si definim la matriu <math>A=(a_{ij})</math>, aleshores <math>A^t=(a_{ji})</math> per tots els índexs <math>i</math> i <math>j</math>. Notem que l'operació transposició no és interna, de fet l'operació és una aplicació definida com:<blockquote><math>\begin{matrix} {-}^t :& M_{m\times n} & \longrightarrow & M_{n\times m}\\
Dos exemples; siguin les matrius <math>A=\begin{pmatrix}1&7&7&9\\9&5&1&3\\9&1&8&4\\8&4&2&3\end{pmatrix}</math>, <math>B=\begin{pmatrix}6\\6\\4\end{pmatrix}</math>. Les seves transposades són:
Línia 210:
Una '''matriu quadrada''' d'ordre <math>n</math> és una matriu que té el mateix nombre de files que de columnes, <math>n</math>. El conjunt de totes les matrius quadrades d'ordre <math>n</math>, junt amb la suma de matrius i el producte de matrius és un [[anell (matemàtiques)|anell unitari]]. A menys que <math>n=1</math>, l'anell no és un [[propietat commutativa|anell commutatiu]]. Això ho podem veure fent el producte de les matrius
<math>A=(a_{ij})=\begin{cases} 1 & \text{si} & i=1 \ \text{i}\
<math>AB=\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &0&\cdots&0 \\ 0 & 0 &0&\cdots&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}\neq BA=\begin{pmatrix} 0 &0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 &0&\cdots&0 \\ 0 & 0 &0&\cdots&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}</math>
| |||