|
En [[Teoria de la probabilitat]] i [[Estadística matemàtica|Estadística]], una [[variable aleatòria]] <math>X</math> es diu que té una distribució binomial de paràmetres <math>n\ </math> i <math>p</math> si representa el nombre d'èxits en <math>n\ </math> repeticions independents d'una prova que té probabilitat d'èxit <math>p</math>. Per exemple, tirem 10 vegades un dau ordinari i comptem quantes vegades surt un 6; en aquest cas l'èxit és "treure un 6", i la variable que compta el nombre de sisos té una distribució binomial de paràmetres <math>n=10</math> i <math>p=1/6</math>.
El model de '''distribució binomial''' és, per les seves aplicacions, la més important entre les distribucions discretes de probabilitat i fins i tot una de les més importants de l'estadística. ▼
▲ElLa model de '''distribució binomial ''' és, per les seves aplicacions, launa més important entrede les distribucions discretes de probabilitat més importants, i fins i tot una de les més importants de l'estadística.
Va ser proposada pel matemàtic i físic suís [[Jakob Bernoulli|Jacob Bernoulli]].
S'anomena '''experiència de Bernoulli''' aquell experiment aleatori del qual només s'estudia la verificació o no d'un esdeveniment A que pot donar-se amb probabilitat p(A)=''p.''
== Distribució de Bernoulli ==
S'acostuma a representar la probabilitat del complementari (no A) per p(no A)=''q''. És clar que ''p+q''=1.
Les distribucions binomials s'inscriuen en el marc de referència de les distribucions de Bernoulli. S'anomena '''experiència de Bernoulli''' aquell experiment aleatori del qual només s'estudia la verificació o no d'un esdeveniment <math>A</math> que pot donar-se amb probabilitat <math>P(A)=p.</math> La realització de l'esdeveniment <math>A</math> s'anomena ''èxit''. S'acostuma a representar la probabilitat del complementari (no <math>A</math>), la realització del qual s'anomena ''fracàs'', per <math>P(\text{no}\ A)=q;</math> és clar que <math>p+q=1.</math>
UnAixí, un experiment o experiència de Bernoulli es caracteritza per ser dicotòmic, és a dir, només són possibles dos resultats: èxit o fracàs d'un esdeveniment A. L'èxit té una probabilitat ''p '' i el fracàs(no A) una probabilitat '' q '' = 1 - '' p ''.
'''Exemples d'experiències de Bernoulli'''
1.# En l'extracció d'una bolbossa s'unahi bossaha boles blanques, veurenegres i vermelles. traiem una bola i mirem si és de color blanc o no. L'esdevenimetesdeveniment ''A'' seria "treure bola blanca".
2.# En un referèndum amb possibles respostes Sí o No, l'esdeveniment ''A '' podria ser " que surti Sí" .▼
▲2.En un referèndum amb possibles respostes Sí o No, l'esdeveniment A podria ser " que surti Sí"
== Distribució binomial ==
}}
En [[estadística]], laLa ''' distribució binomial ''' és una [[distribució de probabilitat]] discreta que fa el recompte del nombre de vegades que es verifica l'èxit (realització de l'esdeveniment <math>A</math>) quan es repeteix <math>n</math> vegades, de forma independent i en les mateixes condicions, una experiència de Bernouilli.
En la distribució binomial l'experiència de Bernouilli es repeteix '' n '' vegades, de forma independent, i es tracta de calcular la probabilitat d'un determinat nombre d'èxits. Per '' n '' = 1, la distribució binomial es converteix enés una [[distribució de Bernoulli]].
Es designaDesignem per '' X '' la variable aleatòria que mesura el nombre d'èxits que s'han produït en els '' n '' experiments. Per indicar que segueix una distribució binomial de paràmetres '' n '' i '' p '', s'escriu:
:<math display="block"> X \sim B (n, p) \, </math> ▼Per representar que una [[variable aleatòria]] '' X'' segueix una distribució binomial de paràmetres '' n '' i '' p '', s'escriu:
<br />
▲:<math> X \sim B (n, p) \, </math>
La distribució binomial és la base del [[test binomial]] de [[significació estadística]].
== Exemples ==
Les següents situacions són exemples d'experiments que poden modelitzar per aquesta distribució:
* Es llança un dau deu vegades i es compta el nombre de tresossisos obtinguts: ''X'' ~ ''B''(10, 1/6)
* Es llança una moneda dues vegades i es compta el nombre de cares obtingudes, tenim <math> B(2,0'5). </math>
* Una partícula es mou unidimensionalment amb probabilitat '' <math>q ''</math> de moure's una unitat de distància cap enrere i '' <math>p=1-q ''</math> de moure's una unitat cap endavant. Després de <math>n</math> moviments, el nombre de vegades que s'ha mogut cap endavant és una variable binomial <math>B(n,p)</math> .
== Funció de densitat de probabilitat ==
LaSigui <math>X</math> una variable aleatòria binomial de paràmetres <math>n</math> i <math>p</math> . Aleshores la probabilitat d'obtenir exactament <math> k\, \! </math> èxits en <math> n \, \! </math> assaigsrepeticions (proves) independents de Bernouilli és donada per la seva [[funció de probabilitat]]:
<math display="block"> \! f P(X=k) ={n \choose k}p^k (1-p)^{n-k},\ k=0,1,\dots, n. </math>on <math display="block"> \!{n \choose k}= \frac{n !}{k ! (n-k) !}\, \! </math> és el [[coeficient binomial]].
Així, la funció de probabilitat de <math> X </math> és <math display="block"> f(k) ={n \choose k}p^k (1-p)^{n-k},\ k=0,1,\dots, n. </math>
on <math> k = \{0, 1, 2, \dots, n \} </math> i sent <math> \!{n \choose k}= \frac{n !}{k ! (n-k) !}\, \! </math> és el '''coeficient binomial'''. És el nombre de combinacions de <math> n \, \! </math> sobre <math> k\, \! </math> (<math> n \, \! </math> elements agafats de de <math> k\, \! </math> en <math> k\, \! </math>). I d'aquí el nom de la distribució que estem estudiant.
== Mitjana i Variància d'una distribució binomial <math> X \sim B (n, p) \, </math> ==
: <math display="block"> \mathbb{E}[X] = np \, </math>
:Això es dedueix per la linealitat de l'esperança, ja que {{mvar|X}} és la suma de {{mvar|n}} variables aleatòries de Bernoulli idèntiques, cadascuna d'elles amb esperança {{mvar|p}}. És a dir, si <math>X_1, \ldots, X_n</math> són variables aleatòries iguals (i independents) de Bernoulli amb paràmetre {{mvar|p}}, aleshores<math display="block">X = X_1 + \cdots + X_n</math> i, atès que <math display="block"> E[X_i]=p\cdot 1+q\cdot 0=p,\ i=1,\dots, n, </math>tindrem que <math display="block">\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[X_1 + \cdots + X_n] = \operatorname{E}[X_1] + \cdots + \operatorname{E}[X_n] = p + \cdots + p = np.</math>D'altra banda, per a una variable de Bernoulli, <math display="block"> E[X_i^2]=p\cdot 1^2+q\cdot 0^2=p, </math>d'on <math display="block"> \text{Var}(X_i)=p-p^2=p(1-p), \ i=1,\dots, n. </math>Llavors, de la independència de <math> X_1,\dots,X_n </math> , es dedueix que
:<math display="block"> \text{Var}[X] = np (1-p) \,. </math> ▼::<math>\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[X_1 + \cdots + X_n] = \operatorname{E}[X_1] + \cdots + \operatorname{E}[X_n] = p + \cdots + p = np.</math>
▲:<math> \text{Var}[X] = np (1-p) \, </math>
== Funció de distribució ==
:<math display="block">F(k;n,px) = \Pr(X \le kx) = \sum_begin{i=0cases}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i},</math>
0, & \text{si}\, x<0,\\
\displaystyle{\sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}}, & \text{si}\, x\in[0,n],\\
1, & \text{si}\, x>n.
\end{cases}</math>
<br />on <math> [x] </math> denota la part entera de <math> x </math>.
===ExampleExemple===
Suposem que tenim uauna moneda trucada amb probabilitat 0.3 de que surti cara quan la llancem a l'aire. La probabilitat que surtin 4 cares en 6 llançaments és
:<math display="block">f(4,6,0.3) = \binom{6}{4}0.3^4 (1-0.3)^{6-4}= 0.059535.</math>
== Aproximació de la distribució binomial per les distribucions de Poisson i normal ==
== Relacions amb altres variables aleatòries ==
Si <math> n </math> tendeix a infinit i <math> \theta_np_n \, \! </math> és tal que producte entre ambdós paràmetres tendeix a <math> \lambdalim_{n\to \infty}n\, p_n=\!lambda </math>, llavors la distribució de lad'una variable aleatòria binomial de paràmetres <math> n </math> i <math> p_n </math>tendeix a una [[distribució de Poisson]] de paràmetre <math> \lambda </math>.
FinalmentD'altra banda, espel compleix[[teorema central del límit]], que quan '' n '' és molt gran (normalment s'exigeix que <math>n \geq 30 </math>) la distribució binomial es pot aproximar mitjançant la [[distribució normal]].
== Propietats reproductives ==
Donades '' m '' variables binomials independents ''X <submath>i X_i </submath> '', '' i '' = 1, ..., ''m'', de paràmetres ''n <submath>i n_i </submath> '', '' i '' = 1, ..., ''m'' i <math> \theta \, \!p_i </math>, repectivament, la seva suma ''S'' és també una variable binomial, de paràmetres '' n <submath> 1 </sub> ''n_1+...\cdots+'' n <sub> mn_m </submath> '', i <math> \theta \, \!p </math>, és a dir,
: <math display="block"> S = \sum_{i = 1}^m X_i \sim B \left(\sum_{i = 1}^m n_i, \thetap\right) \,. </math>
== Referències ==
| 