Diferència entre revisions de la pàgina «Grup abelià finit»

m
Plantilla
m (Plantilla)
m (Plantilla)
El [[1824]], el matemàtic noruec [[Niels Henrik Abel]] ([[1802]] [[1829]]) publica, pagant ell mateix les despeses de la publicació un petit text de sis pàgines<ref>[[Niels Henrik Abel]] ''Memòria sobre les equacions algebraiques, on es demostra la impossibilitat de la resolució de l'equació general del cinquè grau'' 1824</ref> estudiant la qüestió de la resolució de l'equació general del cinquè grau. Posa en evidència la importància del caràcter [[propietat commutativa|commutatiu]] d'un conjunt de permutacions. Un grup commutatiu es qualifica ara d'abelià en referència a aquest descobriment.
 
[[Évariste Galois]] ([[1811]] [[1832]]) estudia la mateixa qüestió. El [[1831]], fa servir<ref>[[Evariste Galois]] ''Sobre les condicions de resolubilitat de les equacions algèbriques'' 1846 Journal de Liouville</ref> per primera vegada el terme de ''grup formal''. Quinze anys més tard, el matemàtic [[Joseph Liouville]] ([[1809]] [[1882]]) publica aquest article. Durant la segona meitat del [[{{segle |XIX]]}}, l'estudi dels grups finits sembla ser essencial, inicialment per al desenvolupament de la [[teoria de Galois]].
 
No obstant això, calen nombrosos anys per definir aquesta noció de grup formal. Kronecker és un actor d'aquesta axiomatització. Kronecker dóna<ref>[[Leopold Kronecker]] ''Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen'' Monatsber. K. Preuss. Akad. Wissenschaft. pp. 881–889 Berlin 1870</ref> el 1870 una definició equivalent a la que es fa servir actualment per a un grup abelià finit. La definició general sovint s'atribueix a [[Heinrich Weber]]<ref>[[Heinrich Weber]] ''Lehrbuch der Algebra'' Braunschweig 1896</ref> ([[1842]]-[[1913]]).
[[Fitxer:Carl Friedrich Gauss.jpg|miniatura|Carl Friedrich Gauss]]
[[Fitxer:Heptadecagone.jpg|miniatura|esquerra|Construction de l'Heptadécagone]]
Els grups abelians finits tenen un paper singular en la teoria de Galois. Una conseqüència del teorema d'Abel-Ruffini és que tot [[polinomi]] que tingui un [[grup de Galois]] abelià és resoluble per radicals. El recíproc és una mica més complex, el grup no cal que sigui necessàriament abelià sinó [[grup resoluble|resoluble]]. El [[cos de descomposició]] d'aquest tipus de polinomis és una [[extensió abeliana]], és a dir una extensió en la que el grup de Galois és abelià. Aquest resultat fa que les extensions abelianes i el seu grup siguin particularment interessants. És la raó per la qual els matemàtics del [[{{segle |XIX]]}} van recercar la demostració del teorema de Kronecker-Weber amb tanta assiduïtat.
 
Força abans dels descobriments de Galois Kronecker i Weber, Gauss havia fet servir un cas particular: l'[[polinomi ciclotòmic|equació ciclotòmica]] d'índex 17 per trobar un mètode de [[construcció amb regle i compàs]] de l'heptadecàgon, és a dir del polígon regular de 17 costats. El fet que el grup de Galois del polinomi sigui abelià és un element essencial del mètode.
1.849.182

modificacions