Teorema de Hahn-Banach: diferència entre les revisions

El '''Teorema de Hahn-Banach''' <ref>{{Ref-llibre|cognom=Schwartz|nom=Laurent|títol=Analyse, Deuxième Partie, Topologie génerale et analyse fonctionelle|url=|edició=|llengua=francès|data=1970|editorial=Hermann|lloc=París|pàgines=|isbn=}}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom=Brézis|nom=Haim|títol=Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations|url=|edició=|llengua=anglès|data=2011|editorial=Springer|lloc=Nova York|pàgines=|isbn=9780387709130}}</ref> és un teorema matemàtic de l'àrea d'[[Anàlisi funcional]], dins la que ocupa un lloc important. Té principalment dues formes: la ''forma analítica'' i la ''forma geomètrica''. La ''forma analítica'' afirma l'existència d'extensions de formes lineals, en espais vectorials, que compleixin una certa desigualtat respecte a una sub-norma (o una semi-norma o una norma). La ''forma geomètrica'' afirma l'existència, també en espais vectorials, d'hiperplans afins tancats que separin a parelles de conjunts convexos disjunts.

''Sigui'' <math>E</math> ''un [[espai vectorial normat]]'' ''real i sigui'' <math>G\subset E</math>'' un subespai vectorial de'' <math>E</math>''. Tota forma lineal contínua'' <math>g\in G'</math>'' admet almenys una extensió'' <math>f\in E'</math>'' amb la propietat addicional que'' <math>\| f \|_{E'}=\| g \|_{G'}</math>.

Aquest cas particular és suficient per a demostrar, per exemple, que si <math>E</math> és un espai normat de dimensió infinita, aleshores <math>E'\ne\{0\}</math>.